Луны без квадратуры
52. В качестве приложения вернемся к уравнениям Хилла
Эти уравнения удовлетворяются, если положить
Здесь 
постоянные; можно считать, что уравнения (2) определяют периодическое решение уравнений (1).
Легко заметить астрономический смысл этого решения. Уравнение 
означает, что Луна находится постоянно в соединении или противостоянии, а второе из уравнений (2) означает, что расстояние от Луны до Земли постоянно. Таким образом, это периодическое решение есть не что иное, как решение, определенное Лапласом в «Mecanique celeste», Livre VI, Chap. X.
Но мы намереваемся определить периодические решения, которые очень мало от него отличаются, применяя принципы предыдущего пункта. С этой целью предположим сначала, что единица длины выбрана так, что
и что единица времени выбрана так, что
где а — очень малый параметр.
Если мы положим 
то система (1) может быть заменена следующей, аналогичной системе (1) предыдущего пункта:
Если мы образуем теперь уравнение предыдущего пункта относительно 
то получим
Это уравнение имеет два действительных корня и два мнимых
Если теперь мы положим
то получим
Определитель А предыдущего пункта, следовательно, равен нулю и можно образовать ряды, которые расположены по дробным степеням 
(здесь эти ряды будут расположены по целым степеням 
и которые после подстановки их вместо удовлетворяют уравнениям (2) предыдущего пункта. Можно проверить (и я вернусь к этому позже), что коэффициенты этих рядов действительны.
Уравнения (1) Хилла допускают, следовательно, периодические решения, мало отличающиеся от решения (2). В этих решениях 
остается очень малым и Луна всегда находится почти в противостоянии (или соединении). Хилл был прав, заявив, что можно представить себе класс спутников, которые никогда не смогут быть в квадратуре; однако способ, которым он намеревался получить этот, так сказать угаданный им результат, никак не мог к нему привести; действительно, этот класс не является, как думал Хилл, аналитическим продолжением того класса, который он изучал вначале столь глубоко и блистательно.
Я добавлю, что в этой категории периодических решений Луна находится в симметричном противостоянии в начале и середине каждого периода.
