Случай, когда уравнения допускают однозначные интегралы

64. Предположим, что уравнения

где однозначные функции периодические по с периодом допускают периодическое решение с периодом

так что и не зависящий от времени, однозначный по интеграл

Я утверждаю, что один из характеристических показателей равен нулю всегда, кроме исключительного случая, о котором скажу позже.

Действительно, определим величины как и в и рассмотрим функциональный определитель по Я утверждаю, что этот определитель равен нулю.

В самом деле, тождественно имеем

где для краткости вместо

мы пишем

Дифференцируя это тождество по находим

В производных надо заменить на

Мы можем положить в уравнениях (2) таким образом получаем линейных уравнений относительно величин

Тогда будет верно одно из двух: либо определитель этих уравнений (2), т. е. функциональный определитель по , будет равен нулю, и тогда, как мы видели в , один из характеристических показателей будет равен нулю.

Либо одновременно будут выполняться равенства

Эти уравнения должны удовлетворяться при

или, что то же, при

Но начальный момент времени остается полностью произвольным; следовательно, мы должны заключить, что уравнения (3) будут удовлетворены для любого при

Впрочем, в этом можно убедиться следующим образом.

Предположим, что уравнения (3) удовлетворяются для системы значений я утверждаю, что они также будут удовлетворяться для бесконечно близкой системы если только в соответствии с дифференциальными уравнениями

Другими словами, я утверждаю, что из уравнений (3) следуют уравнения

Действительно, тождественно выполняется равенство

(поскольку интеграл дифференциальных уравнений). Дифференцируя это тождество по получаем

или в силу уравнений (3)

что и требовалось доказать.

Таким образом, если дифференциальные уравнения допускают однозначный интеграл, то один из характеристических показателей любого периодического решения будет равен нулю, если только все частные производные интеграла не обращаются в нуль во всех точках этого периодического решения. Последнее обстоятельство может представиться лишь в исключительном случае.

65. Предположим снова, что правые части дифференциальных уравнений (1) содержат время в явном виде и являются относительно этой переменной периодическими функциями с периодом

Я утверждаю, что если дифференциальные уравнения имеют два однозначных интеграла два характеристических показателя равны нулю.

Действительно, как и в предыдущем пункте, найдем

Отсюда можно заключить, что не только функциональный определитель по равен нулю, но также равны нулю все его миноры первого порядка, если только одновременно не выполяются уравнения

Но в силу п. 57 это может случиться, лишь если уравнение относительно составленное при помощи функционального определителя величин имеет два нулевых корня, т. е. (поскольку эти корни равны если два характеристических показателя равны нулю.

Итак, если имеются два однозначных интеграла, то найдутся два нулевых характеристических показателя, если только уравнения (3) не удовлетворяются во всех точках периодического решения, что, очевидно, может произойти лишь в исключительном случае.

Точно так же можно было бы доказать, что если имеются однозначных интегралов то характеристических показателей будут равны нулю, если только все определители матрицы

не обращаются в нуль во всех точках периодического решения.

66. Представим себе теперь, что врейя не входит явно в наши дифференциальные уравнения и что, кроме того, эти уравнения имеют

однозначный интеграл

не зависящий от времени

Я утверждаю, что два характеристических показателя будут равны нулю.

Прежде всего, мы видели, что один из этих показателей всегда равен нулю, когда время не входит явно. Если, кроме того, имеется интеграл то, как в п. 64,

и, дифференцируя это соотношение по получим

Отсюда следует, что или одновременно

во всех точках периодического решения, или же все определители, содержащиеся в матрице

одновременно равны нулю.

Но мы видели в п. 63, что это может случиться, лишь если два характеристических показателя обращаются в нуль.

67. Я намереваюсь теперь доказать следующее.

Предположим снова, что время не входит явно в наши дифференциальные уравнения; предположим, что эти уравнения имеют аналитических и однозначных интегралов, в которые время также не входит явно. Пусть эти интегралов.

Тогда либо характеристических показателей равны нулю, либо нее определители, содержащиеся в матрице

равны нулю во всех точках порождающего периодического решения. Действительно, предположим для опредленности, что

Мы будем тогда иметь следующие уравнения:

Из этих уравнений можно вывести, что либо все определители, содержащиеся в матрице

равны нулю одновременно, либо все определители, содержащиеся в матрице

равны нулю одновременно вместе со своими минорами первого порядка. Как мы видели в п. 58, можно всегда предполагать, что

при

С другой стороны, поскольку все миноры определителя, полученного вычеркиванием последующего столбца матрицы (1), должны быть равны нулю, то соответствующее уравнение относительно S будет иметь два нулевых корня; следовательно, я могу предположить, что

Я намерен показать, что уравнение относительно S имеет третий нулевой корень и, следовательно,

или

В самом деле, в силу самого определения имеем если положить

где любая постоянная; отсюда, дифференцируя по и полагая затем , получаем

Но

следовательно,

Полагая получаем

откуда

или

В первом случае теорема доказана. Во втором случае запишем уравнение (2), положив получим

откуда или

или

В первом случае теорема доказана, во втором случае имеем

откуда можно заключить (поскольку мы исключаем из рассмотрения случай, когда все равны нулю одновременно), что производные и не обе равны нулю.

Образуем миноры, получаемые вычеркиванием в матрице (1) третьего и четвертого столбцов и третьей строки (или третьего и четвертого столбцов и четвертой строки).

Эти два минора должны равняться нулю; это дает

откуда вытекает (поскольку и не обе равны нулю), что или

или

а это и требовалось доказать.

68. В п. 67 мы исключили из рассмотрения случай, когда

постоянны, т. е. когда одновременно выполняются равенства

Если по-прежнему предполагать, что время не входит явно в исходные дифференциальные уравнения, то остаются в силе уравнения

Но из этих уравнений не вытекает более ни что функциональный определитель по равен нулю, ни что один из характеристических показателей всегда равен нулю.

Итак, если дифференциальные уравнения имеют интегралов, то из этого можно только заключить, что по меньшей мере характеристических показателей равны нулю (но не , как в случае, когда время явно входит в уравнения.