Новая формулировка теоремы пунктов 37 и 38

62. В п. 37 мы вначале рассмотрели случай, когда уравнения (1) зависят от времени и параметра и при допускают единственное периодическое решение. Мы видели, что если функциональный определитель

то и при малых значениях уравнения допускают периодическое решение.

Этот определитель можно записать в виде

Но характеристические показатели даны уравнением

Поэтому сказать, что А равен нулю, значит сказать, что один из характеристических показателей равен нулю, и мы можем следующим образом выразить первую из теорем, доказанных в предыдущем пункте.

Если уравнения (1), зависящие от параметра допускают при периодическое решение, ни один из характеристических показателей которого не равен нулю, то они будут допускать периодическое решение и при малых значениях

63. Можно прийти к аналогичному результату, если предположить, как и в п. 38, что время не входит явно в дифференциальные уравнения.

В п. 38 мы видели, что для сохранения периодических решений при малых значениях достаточно, чтобы при не все определители, содержащиеся в матрице

обращались в нуль одновременно.

Рассмотрим теперь уравнение относительно S

Как мы уже видели в п. 69, его корни равны , где Т — период, а — характеристический показатель. Поскольку время не входит явно в уравнения, один из этих показателей равен нулю в силу п. 61.

Следовательно, уравнение относительно S имеет по меньшей мере один нулевой корень; я утверждаю, что если оно имеет только один нулевой корень, то периодические решения сохраняются при малых значениях

Действительно, в силу того, что мы показали в п. 58, всегда можно предположить, что

Левая часть уравнения относительно S записывается в виде

Итак, если уравнение относительно S имеет лишь один нулевой корень, то функциональный определитель 6 величин не равен нулю.

Тогда определитель, полученный из матрицы вычеркиванием первого столбца, сводится к

Я утверждаю, что он не равен нулю. В самом деле, не может обращаться в нуль по следующей причине.

Равенства

не могут выполняться одновременно.

Если бы эти равенства выполнялись, то это означало бы, что для периодического решения

которое соответствует и с которого мы начинали, мы имели бы при (следовательно, также при всех значениях

так что были бы постоянными, а этот случай мы исключим из рассмотрения.

С другой стороны, я утверждаю, что

Действительно, мы имеем, как это было показано выше (см. п. 38),

Но

следовательно, мы имеем ряд линейных уравнений

я, поскольку определитель этих уравнений (т. е. ) не равен нулю, получаем

Исключая из рассмотрения случай, когда постоянны, который будет изучен отдельно в , мы приходим к заключению, что

что и требовалось доказать.

Таким образом, если дифференциальные уравнения не содержат времени в явном виде и допускают периодическое решение при то один из характеристических показателей этого решения будет всегда равен нулю; если, кроме того, ни один из остальных показателей не равен нулю, то периодическое решение существует и при малых значениях