Глава XVI. МЕТОДЫ ГИЛЬДЕНА

167. Методы, о которых я хочу рассказать в этой главе, в высокой степени оригинальны. На первый взгляд может показаться, что они не имеют ничего общего с теми, о которых говорилось раньше. Однако вопреки этому впечатлению методы, о которых пойдет речь, тесно связаны с изложенными в предыдущих главах, но кое в чем превосходят их и позволяют рассматривать задачи, к которым нельзя было применять методы глав IX и XV. Таким образом, они более тесно связаны с теми методами, о которых речь будет идти дальше. Разумеется, мое изложение значительно отличается от изложения Гильдена.

В самом деле, методы Гильдена представляют собой совокупность искусственных приемов, между которыми нет никаких необходимых связей и которые удобнее изучать по отдельности. Читатель без труда сможет свести их затем воедино.

Первый из этих искусственных приемов состоит в использовании специально выбранных независимых переменных.

Предположим сначала, что движение трех тел происходит в одной плоскости. В этой плоскости рассмотрим движение одной из планет, на которую действует центральное тело, положение которого мы примем за начало координат, и на которую оказывает возмущающее воздействие другая планета.

Пусть полярные координаты рассматриваемой планеты, масса центрального тела, возмущающая функция. Уравнения движения запишутся в виде

В случае, когда движение становится кеплеровским, первое из уравнений (1) тотчас же интегрируется

(с — некоторая постоянная).

Если затем принять за независимую переменную и положить Ни, то второе из уравнений (1) запишется в виде

откуда непосредственно усматривается эллиптический вид траектории.

Вернемся к общему случаю, когда . В этом случае Гильден предложил так выбирать независимую переменную, чтобы уравнения движения имели вид, аналогичный уравнениям (2) и (3).

Для этого положим

где новая постоянная.

Если принять за независимую переменную, то первое из уравнений (1) запишется в виде

Если же, кроме того, положить то второе из уравнений (1) примет вид

Аналогия с уравнением (3) станет еще более очевидной, если заметить, что в последующих вычислениях будет мало отличаться от Поэтому, если перенести в правую часть член, имеющий тот же же порядок малости, что и , то

Выбор переменной имеющий явные преимущества, не лишен и недостатков.

В самом деле, существуют два сильно отличающихся варианта задачи трех тел. В одном из них мы имеем дело с двумя планетами, массы которых сравнимы, в другом же, наоборот, масса одной из планет много меньше массы другой.

В первом случае с одной из планет необходимо связать независимую переменную а с другой планетой — другую независимую переменную аналогичную первой, но отличную от нее и определяемую уравнением

где радиус-вектор второй планеты.

В этом состоит один источник трудностей. Поэтому метод Гильдена в его первоначальном виде особенно пригоден для второго случая, например для изучения возмущений малых планет Юпитером.

Однако имеются еще и другие трудности.

Движение Юпитера известно, но как функция от а не от Чтобы выразить функцию, зависящую от через необходимо подставить вместо его выражение через полученное из уравнения (4). Но зависимость от в каждом приближении имеет свой вид. Следовательно, в координаты Юпитера необходимо постоянно вносить поправки. Эти неудобства отчасти компенсируются важными преимуществами. Еще один недостаток заключается в том, что наши уравнения не будут иметь вид уравнений Лагранжа, но к этому мы еще в скором времени вернемся.

168. Посмотрим теперь, какой вид имеют уравнения движения.

Координаты и и первой планеты выражаются в виде функций от с помощью уравнений (5) и (6), левые части которых имеют простой вид

я правые части зависят не только от и но и от координат и и возмущающей планеты.

Переменная связана с уравнением (4).

Координаты и и второй планеты также выражаются в виде функций новой переменной с помощью уравнений (5) и (6), аналогичных уравнениям (5) и (6).

Переменная в свою очередь, определяется в виде функции от с помощью уравнения (4), аналогичного уравнению (4).

Предположим теперь, что к этим уравнениям требуется применить методы, аналогичные старым методам небесной механики. Вот что получилось бы при этом. Предположим, что мы знаем приближенные значения и и в виде функций, зависящих как от так и от

В правую часть уравнения (5) или (6) вместо подставим их приближенные значения, записанные в виде функций от Эти правые части станут известными функциями от и наши уравнения без труда будут интегрироваться в квадратурах. При этом получим следующее приближение для и и в виде функций от

Производя аналогичные действия с уравнениями (5) и (6), получим следующие приближения для и и в виде функций от

После этого из уравнений (4) с помощью квадратур получим как функцию от а из уравнения (4) выразим через Объединяя оба эти результата, получим в виде функции от и наоборот.

Таким образом, можно получить следующее приближение для и и в виде функций от либо для и и в виде функций от Имея теперь второе приближение для как в виде функций от так и в виде функций от мы можем произвести с этим приближением те же операции, что и с первым, и т. д.

Остается выбрать первое приближение. Чтобы лучше понять те усовершенствования, которые пришлось ввести Гильдену, временно предположим, что первое приближение мы выбираем так, как это сделали бы вычислители, действующие в духе старых методов. Очевидно, что выбор в качестве первого приближения кеплеровского движения лучше всего отвечал бы духу старых методов.

В этом случае

где и постоянные интегрирования.

Что касается соотношения между оно будет более сложным. Его мы получим из уравнения

которое интегрируется в квадратурах. Это дает нам в виде функции от Если разложить по возрастающим степеням постоянных вообще говоря, весьма малых, то первый член разложения, не зависящий от четырех указанных постоянных, оказывается линейной функцией от

Таким образом, соотношение между в первом приближении усложнилось. Эта трудность носит несколько искусственный характер и совершенно нового рода. Она связана с выбором независимых переменных и не устраняется, если вместо старых методов воспользоваться методами Гильдена.

Ничего подобного не возникает при рассмотрении методов Ньюкома. Не следует, однако, переоценивать это "обстоятельство. Разложение возмущающей функции всегда требует продолжительных вычислений. Однако получить ее в виде функции от истинных аномалий можно быстрее, чем в виде функции от средних аномалий. В методе Ньюкома мы предполагаем, что возмущающая функция записана через оскулирующие элементы двух планет и их средние аномалии. Следовательно, чтобы найти ее, необходимы продолжительные вычисления, но методы, имеющиеся в нашем распоряжении, позволяют устранить все трудности. Здесь же, наоборот, мы выражаем в виде функции от что несравненно легче. Однако устраненная в методе Ньюкома трудность должна появиться вновь.

Сложное соотношение, связывающее это первое ее проявление, с которым мы сталкиваемся. Она будет возникать вновь и вновь в каждом приближении, и мы будем с ней встречаться еще неоднократно.

Посмотрим теперь, где же находится тот подводный камень, на который наталкивается применение методов, имитирующих старые методы, и с помощью каких остроумных приемов Гильден обходит возникающие при этом трудности.

Уравнения (5) и (6) после замены в правых частях на их выражения через становятся неоднородными линейными уравнениями, которые легко интегрируются.

В первом приближении правые части записываются в виде тригонометрических рядов, расположенных по синусам и косинусам, зависящих от

где пят — целые числа, к — отношение средних движений. Если бы правая часть уравнения (5) не содержала свободного члена или если бы правая часть уравнения (6) не содержала членов то выражения для и и найденные из уравнений (5) и (6), имели бы тот же вид. Но правые части уравнений (5) и (6) содержат свободные члены и члены В силу этого в выражении для появляется член а в выражении для и — члены

Следовательно, независимая переменная входит не только под знаком тригонометрических функций.

Очевидно, что в последующих приближениях вне знаков тригонометрических функций будут встречаться еще более высокие степени Таким образом, как нетрудно было бы видеть заранее, использование переменпой не меняет существенно характера старых методов и если требуется, чтобы переменная входила только под знаком тригонометрических функций, то необходимо прибегать к какому-то искусственному приему.

Единственное преимущество, даваемое выбором если оставить в стороне те недостатки, о которых говорилось, заключается в том, что уравнения становятся линейными.

169. Итак, чтобы избежать вековых членов, т. е. членов, в которых не входит под знаком синуса или косинуса, Гильдену было необходимо придумать новый прием.

Рассмотрим какое-нибудь одно из уравнений (5) или (6). Перенесем в левую часть главные члены правой части. Заменим в правой части их приближенными значениями так, чтобы и неизвестные остались только в левой части. При этом мы получим новые уравнения, которые можно будет проинтегрировать с помощью новых ухищрений.

Сказанное допускает, очевидно, достаточно большую степень произвола. В самом деле, в зависимости от обстоятельств мы можем считать главным и переносить в левую часть уравнения то один, то другой член. В этом и состоит гибкость метода.

Из всего бесконечного разнообразия получающихся при этом уравнений я намереваюсь перечислить здесь лишь те из них, которые были рассмотрены Гильденом особенно подробно.

Пусть — приближенные значения Положим

Величина означает то, что Гильден назвал эвекцией, а величина х называется вариацией. Обычно полагают

В новых неизвестных уравнения (5) и (6) п. 167 записываются в следующем виде:

Функции допускают разложение по возрастающим степеням кроме того, (по крайней мере В) по степеням Коэффициенты разложений являются известными функциями от Затем мы переносим в левую часть некоторые члены разложений и, оставляя в левой части неизвестными, заменяем их в правой. В первом приближении будем считать эти величины равными нулю.

Функция В помимо других замечательных членов содержит члены вида

где — постоянные.

1. Если перенести в левую часть уравнения второй из этих членов, то

где В означает функцию, в которую переходит В после вычеркивания члена, перенесенного в левую часть.

В функции В положим

Уравнение (6а) будет линейным с правой частью, но его коэффициенты уже не будут постоянными.

Теперь ясно, что точно так же можно было бы записать

где произвольные малые величины,

и, кроме того, в первом приближении

ибо в этом случае параметры в правой части равны нулю.

Далее можно воспользоваться тем, что а и не определены и их можно выбирать по-разному.

2. Аналогично можно перенести в левую часть член с и записать

или

а затем в правой части положить

3. Ясно, что А разлагается в ряд по синусам и косинусам линейных комбинаций Пусть

— некоторый член разложения целые числа, k — некоторая постоянная. Заменяя суммой его приближенным значением выраженным через мы, очевидно, получаем

где ряды, расположенные по синусами косинусам линейных комбинаций где и — отношение средних движений. По сравнению с главными членами дополнительные члены очень малы. Следовательно, выражение

можно также разложить в ряд, расположенный по синусам и косинусам линейных комбинаций причем главным членом разложения будет

Аналогично, если в выражении

заменить на

то это выражение можно будет разложить в тригонометрический ряд по

причем главный член этого разложения будет иметь вид

Именно этот член мы и перенесем в левую часть уравнений (5), которое в этом случае запишется в виде

где

Затем в А положим

так что функцию А можно будет рассматривать как известную функцию от

Почаще всего выбирают

В этом случае все предыдущее изложение несколько упрощается.

Именно уравнениями (6b), (6с) и (5а) Гильден пользовался чаще всего. Заметим, что все они имеют вид

или

Следовательно, их можно привести к каноническому виду (это вытекает из сказанного в уравнение

Мы предположили, что в правых частях уравнений

Так на самом деле и обстоит дело в первом приближении. Однако во втором приближении необходимо вместо величин подставить в правые части их приближенные значения, найденные в первом приближении, и т. д.

Следовательно, правые части всегда будут известными функциями от и уравнения всегда будут иметь один и тот же вид.