Отступление об одном свойстве возмущающей функции

92. Можно было бы попытаться избежать разложения главной части возмущающей функции, используя следующий искусственный прием. Мы нашли

обозначив через два радиуса-вектора и через со — угол между этими радиусами-векторами.

Чтобы достигнуть этого результата, мы взяли, как и в п. 11, за оскулирующие орбиты орбиту В относительно А и орбиту С относительно центра тяжести . Но яспо, что было бы можно равным образом выбрать за оскулирующие орбиты орбиту С относительно А и орбиту В относительно Е, центра тяжести .

Это равносильно перестановке планет В и С; таким образом мы бы получили в качестве новой возмущающей функции

откуда

Если существует интеграл

то его можно записать, взяв в качестве переменных оскулирующие элементы двух первых орбит [переменные (4) п. 11], и мы получим

Его можно записать также, выбирая в качестве переменных оскулирующие элементы двух новых орбит (орбиты С относительно относительно Е); тогда получим

где будет образовано из элементов двух новых орбит так же, как было образовано из соответствующих элементов двух старых орбит, но не будет образовано подобно

Как мы видели в п. 81, мы должны получить

а также

поскольку образовано так же, как то я могу опустить штрих и написать

откуда

Мы видели, что если существует однозначный интеграл и если, после того как мы разложили образовать выражения (14) из п. 84, то между этими выражениями должно существовать некоторое число соотношений.

Но, рассуждая относительно уравнения (1) аналогично тому, как мы это делали относительно уравнения (3) из п. 81, мы пришли бы к аналогичному результату.

Разложим образуем с помощью этого разложения выражения (14) п. 84; если существует однозначный интеграл, то между этими выражениями должно существовать некоторое число соотношений.

Итак, если можно было бы установить, что этих соотношений не существует, то мы бы установили, что может существовать однозначный интеграл. Поскольку разложение разности несравненно проще, чем разложение то, по-видимому, этот способ должен сильно облегчить нашу задачу.

Но он настолько искусствен, что можно почувствовать сомнение относительно эффективности этого метода и задать себе вопрос, не является ли он иллюзорным. Это на самом деле так, поскольку выражения (14), образованные с помощью равны нулю или же не определены. Предположим, что мы разложили в ряд вида

Коэффициенты Втитг будут функциями от и других оскулирующих элементов (за исключением . Дадим такие значения, что

(обозначая через средние движения).

Я утверждаю, что для этих значений коэффициент обратится в нуль.

Для этого я воспользуюсь следующей леммой.

Пусть

— система попарно сопряженных переменных, пусть

— другая система сопряженных переменных. Предположим, что эти две системы связаны такими соотношениями, что от одной к другой можно перейти, не изменяя канонического вида уравнений. Тогда согласно п. 5, должно иметь место соотношение

Предположим, что зависят от некоторого параметра и разлагаются в ряды по степеням кроме того, при совпадают с

Тогда будем иметь

где функции

Тогда выражение

будет полным дифференциалом. Это с необходимостью вытекает из тождества (4), из которого, очевидно, вытекает следующее тождество:

Рассмотрим теперь канонические уравнения

где

Сделаем замену переменных и за новые переменные возьмем (3); получим

Если мы заменим их значениями (5), то получим

откуда, приравнивая оба разложения, получим

Если заметить, что и что

то можно записать

Предположим, что зависит лишь от двух переменных и что периодические функции с периодом по у, и Так обстоит дело во всех задачах, которые мы до сих пор рассматривали.

Предположим, кроме того, что S периодична по у и и пусть

где А зависит от

Предположим, что мы желаем разложить в ряды того же вида и пусть

Уравнение (6) показывает, что

Итак, если мы даем такие значения, что

то получаем также

Применим этот результат к случаю, который нас интересует.

Пусть

есть переменные (4) из п. 11, соответствующие двум старым оскулирующим орбитам: В относительно относительно

Пусть

есть переменные (4) из п. 11, соответствующие двум новым орбитам (В относительно Е, С относительно А).

Эти переменные (8) смогут заменить переменные (7) так, чтобы канонический вид уравнений не нарушился; они будут зависеть от переменных (7) и от они будут разлагаться в ряды по степеням и сведутся к переменным (7) при

Таким образом, мы окажемся в условиях, когда применим предыдущий результат, и мы должны заключить, что если положить

то , обращается в нуль при

Этот результат легко можно проверить непосредственно. Действительно, обратимся к выражениям, данным Тиссераном в книге «Мёсашсгие celeste» (t. I, p. 312).

Результат, который нам надо проверить, в терминологии Тиссерана может быть сформулирован следующим образом (я напоминаю, что Тиссеран обозначает через 0 косинус угла между радиусами-векторами). Если положить

то обращается в нуль при

Действительно, обращаясь к выражениям цитированной страницы, находим

где С зависит только от эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев и узлов; следовательно, это выражение обратится в нуль при

и, следовательно, при

что и требовалось доказать.

Я счел себя обязанным тем не менее связать эту теорему с более общей теорией, которая позволит, быть может, открыть новые аналогичные предложения.