Глава VIII. ИСЧИСЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
Различный смысл слова сходимость
118. Геометры и астрономы по-разному понимают слово сходимость. Геометры, всецело озабоченные достижением безукоризненной строгости и зачастую совершенно безразличные к продолжительности сложных вычислений (выполнимость которых они предполагают, не задумываясь о ее фактическом осуществлении), говорят, что некоторый ряд сходится, если сумма его членов стремится к какому-то определенному пределу, даже в том случае, когда первые члены ряда убывают чрезвычайно медленно. В противоположность этому астрономы обычно говорят, что некоторый ряд сходится, если, например, первые двадцать членов этого ряда убывают очень быстро, несмотря на то, что последующие его члены неограниченно возрастают.
В качестве простого примера рассмотрим два ряда, общий член которых имеет вид
Геометры скажут, что первый ряд сходится и причем быстро, поскольку его миллионный член много меньше 1/999999. Но второй ряд они будут считать расходящимся, поскольку общий член этого ряда неограниченно возрастает.
Астрономы же, наоборот, будут считать первый ряд расходящимся, поскольку первые 1000 членов этого ряда возрастают, а второй ряд сходящимся, так как его первые 1000 членов убывают, причем спачала это убывание происходит очень быстро.
Обе точки зрения законны: первая — в теоретических исследованиях, вторая — в численных приложениях. Обе господствуют безраздельно, но в различных областях, и границы этих областей необходимо четко различать.
Астрономы не всегда точно знают границы применимости своих методов, но ошибаются они редко. То приближение, которым они довольствуются, обычно лежит в тех пределах, где их методы применимы. Кроме того, интуиция позволяет им предвидеть правильный результат, а если бы они и совершили ошибку, то сравнение с наблюдениями позволило бы исправить ее надлежащим образом.
Все же я полагаю, что будет уместно внести в этот вопрос несколько большую точность, и именно это я и собираюсь сделать, хотя по самой своей природе рассматриваемый вопрос не слишком пригоден для этого. Во избежание всяких недоразумений я с самого начала хочу предупредить, что, если противное не оговорено, я всегда буду употреблять слово сходимость в том смысле, в каком его понимают геометры.
