Примеры канонических уравнений

2. Наиболее простой случай уравнений динамики — это тот, когда изучается движение свободных материальных точек в пространстве. Пусть масса первой из этих точек, ее декартовы

координаты; масса второй из этих точек, ее координаты и пусть, наконец, масса точки, координаты

Спроектируем количество движения точки на три оси; пусть три проекции. Пусть также проекции количества движения точки проекции количества движения точки

Пусть составляющие силы, действующей на составляющие силы, действующей на составляющие силы, действующей на

Мы предположим, что составляющие зависят лишь от координат х. Если энергия сохраняется, то существует функция V от координат х, называемая силовой функцией, такая, что

Половина живой силы Т будет иметь вид

и мы сможем записать уравнение живых сил в виде

Если положить

то уравнения движения запишутся в виде

Таким образом, уравнения движения свободных материальных точек соответствуют степеням свободы во всех случаях, когда силы зависят только от положения этих точек в пространстве и энергия сохраняется. В частности, задача трех тел соответствует девяти степеням свободы. Впоследствии мы увидим, что это число можно значительно уменьшить.

Если наши материальных точек движутся все в одной плоскости, положение каждой из них будет определяться не тремя координатами, а лишь двумя. Число степеней свободы будет, следовательно, сведено к

Таким образом, если орбиты трех тел плоские и расположены в одной плоскости, задача трех тел (которую мы будем тогда называть плоской задачей трех тел) имеет лишь шесть степеней свободы.

В случае одной степени свободы уравнения немедленно интегрируются; поэтому мы будем заниматься в основном непосредственно следующим за

ним случаем, т. е. случаем, когда имеются лишь две степени свободы. Большая часть последующих результатов будет применяться лишь к этому относительно простому случаю.

Действительно, во многих задачах механики число степеней свободы может быть сведено к двум. Это, например, имеет место при изучении движения свободной материальной точки в плоскости или, более общим образом, для движения материальной точки, вынужденной оставаться на некоторой поверхности, во всех случаях, когда сила зависит лишь от положения этой точки. Мы приведем в числе других задач знаменитую задачу о движении тела, притягиваемого двумя неподвижными центрами, когда его начальная скорость находится в плоскости этих трех тел [2].

Но есть случай несколько более сложный и более важный для дальнейшего.

Пусть на плоскости даны и две ортогональные подвижные оси, совершающие равномерное вращательное движение вокруг начала координат О. Пусть угловая скорость этого вращательного движения, подвижная точка, движущаяся в той же плоскости, координаты которой по отношению к этим осям будут обозначаться через а масса бдет принята за единицу.

Пусть — силовая функция, зависящая только от так, что проекции силы, приложенной в точке Р, на оси и равны соответственно

Уравнения движения точки Р по отношению к подвижным осям и запишутся в виде

Отсюда можно вывести следующий интеграл, называемый интегралом Якоби,

который является не чем иным, как интегралом живых сил в относительном движении.

Я утверждаю, что эти уравнения можно привести к каноническому виду, причем число степеней свободы будет равно двум.

Действительно, положим

Уравнения (2) примут вид

что и требовалось доказать.

Один из частных случаев задачи трех тел сводится к вопросу, который мы только что рассмотрели.

Предположим, что одна из трех масс бесконечно мала, так что движение двух других масс не возмущено и остается кеплеровским. Таким будет, например, случай движения малой планеты под действием Юпитера и Солнца [3]. Представим себе, что эксцентриситет орбит двух больших масс равен нулю, так что эти две массы равномерно движутся по двум концентрическим окружностям вокруг общего центра тяжести, полагаемого неподвижным. Предположим, наконец, что наклонение орбит равно нулю и малая масса движется постоянно в плоскости этих двух окружностей.

Можно всегда предположить, что центр тяжести системы, являющийся общим центром обеих окружностей, неподвижен. Возьмем его за начало координат, проведем через это начало две подвижные оси и ), причем ось направим по прямой, соединяющей две большие массы, а ось — по перпендикуляру к Тогда:

1) эти две оси совершают равномерное вращательное движение;

2) две большие массы неподвижны относительно подвижных осей.

Таким образом, нам надо изучить относительное движение подвижной точки по отношению к подвижным осям под действием притяжения к двум центрам, неподвижным по отношению к этим осям, и мы снова вернулис вопросу, который только что рассматривали.

Итак, в этом частном случае уравнения задачи трех тел можно привести к каноническому виду лишь с двумя Степенями свободы.

Перейдем теперь к уравнению, которое часто встречается в теории возмущений и которым часто пользуется Гильден.

Пусть

Это уравнение также можно привести каноническому виду.

Действительно, можно всегда рассматривать как производную по от некоторой функции так что

Если теперь мы положим

то уравнение (3) может быть заменено каноническими уравнениями (3) из предыдущего пункта и лишь с двумя степенями свободы, что и требовалось доказать.

Я приведу еще последний пример.

Рассмотрим тяжелое твердое тело, подвешенное в неподвижной точке, и изучим колебания этого тела. Чтобы полностью определить положение этого тела, надо задать три условия. Действительно, надо знать три угла Эйлера, которые дают положение системы осей, неизменно связанных с телом, относительно системы неподвижных осей. Итак, задача допускает три степени свободы, но мы увидим далее, что это число может быть уменьшено до двух.

Сказанного мной достаточно, чтобы показать, сколько задач механики сводится к интегрированию канонических систем с двумя степенями свободы, и дать понять важность этих систем. Было бы бесполезно увеличивать число примеров.