Случай, когда В обращается в нуль

83. В предыдущем доказательстве мы предполагали, что коэффициенты В не были равны нулю. Случай, когда один или несколько из этих коэффициентов равны нулю (и особенно, когда бесконечное число этих коэффициентов обращается в нуль), следует изучить подробнее.

Чтобы сформулировать результаты, которые я сейчас получу, я должен ввести новую терминологию.

Каждой системе индексов целые числа) соответствует коэффициент В. Я назову этот коэффициент вековым, если принимают такие значения, что

Такое наименование может быть оправдано следующим образом.

Когда при вычислении возмущений предполагается, что средние движения соизмеримы между собой, некоторые из членов возмущающей функции перестают быть периодическими, и тогда можно сказать, что они становятся вековыми; совершенно аналогичным образом обстоит дело и в нашем случае.

Я скажу, что две системы индексов принадлежат одному и тому же классу, если

и что два коэффициента В принадлежат одному и тому же классу, когда они соответствуют двум системам индексов, принадлежащим одному и тому же классу.

Чтобы доказать теорему предыдущего пункта, мы предположили, что ни один из коэффициентов В не обращается в нуль, становясь вековым.

Для справедливости этой теоремы достаточно, чтобы в каждом из классов имелся по меньшей мерс один коэффициент В, который не обращается в нуль, становясь вековым.

Действительно, предположим, что коэффициент В, который соответствует системе обращается в нуль, но что коэффициент который соответствует системе не равен нулю.

Если давать х такие значения, что

то также будут выполняться соотношения

и, следовательно,

Первое из этих равенств не позволяет еще утверждать, что

потому что В равен нулю; но, поскольку В не равен нулю, второе равенство нам дает

и, следовательно

Остальные рассуждения проводятся так же, как в предыдущем пункте. Прежде чем идти дальше, рассмотрим сначала частный случай, когда степеней свободы всего лишь две.

Мы будем иметь тогда лишь два индекса и класс будет полностью определен отношением этих индексов. Пусть X — некоторое рациональное число; пусть С — класс индексов, для которых скажу для краткости, что этот класс С принадлежит к области или находится в этой области, если можно дать такую систему значений, принадлежащих этой области, что

Я назову класс особым, если все коэффициенты этого класса обращаются в нуль, становясь вековыми, и обыкновенным в противном случае.

Я утверждаю, что теорема останется верной, если предположить лишь, что во всякой области составляющей часть можно найти бесконечное число обыкновенных классов.

Действительно, пусть имеется некоторая система значений такая, что в этой точке

Предположим, что X рационально и что класс, соответствующий этому значению X, обыкновенный. Рассуждения предыдущего пункта можно тогда применить к этой системе значений и мы найдем, что для этих значений и якобиан по обращается в нуль. Но по предположению в любой сколь угодно малой области составляющей часть D,

существует бесконечное число подобных систем значений Следовательно, наш якобиан должен обращаться в нуль во всех точках а это показывает, что есть функция от

Отсюда можно заключить, как и в предыдущем пункте, что не существует однозначного интеграла, отличного от

Дело обстояло бы иначе, если бы нашлась область , все классы которой особые. Тогда можно было бы спросить, не может ли существовать интеграл, который остается однозначным не для всех значений х, а только когда эти переменные не выходят из области Мы бы увидели, что вообще это не так; чтобы убедиться в этом, достаточно было бы рассмотреть в уравнении

не только член, не зависящий от и член с но также член с и следующие члены.

Я не останавливаюсь на этом, так как это не представляет интереса, поскольку я не думаю, чтобы в какой-либо естественно возникающей задаче динамики все классы области были бы особыми тогда, когда не все коэффициенты В обращаются в нуль, становясь вековыми.

Перейдем теперь к случаю, когда число степеней свободы больше двух. Результаты будут аналогичными, хотя их формулировка и сложнее. Пусть

произвольных целых чисел. Рассмотрим все системы индексов которые удовлетворяют условию

Я скажу, что все соответствующие коэффициенты принадлежат одному и тому же семейству.

Рассмотрим классов, определенных следующими системами индексов:

Если нельзя найти целых чисел

таких, что

то я скажу, что эти классов независимы.

Я назову семейство обыкновенным, если можно найти в нем независимых обыкновенных классов, и особым в противном случае. Семейство будет особым первого порядка, если можно найти в нем независимых обыкновенных класса, особым порядка, если можно найти в нем независимых обыкновенных классов и нельзя найти больше.

Я скажу, что семейство, определенное целыми числами принадлежит области если в этой области существуют такие значений X, что

Теперь я утверждаю, что если в любой области , составляющей часть можно найти бесконечное число обыкновенных семейств, то не может существовать никакого однозначного интеграла, отличного от

Действительно, рассуждения предыдущего пункта применимы ко всякой системе значений х, соответствующей обыкновенному семейству.

Якобианы по любым двум из переменных х должны, следовательно, обращаться в нуль бесконечное число раз в любой области составляющей часть что может произойти, лишь если они тождественно равны нулю.

Теперь я утверждаю, что если можно найти во всякой области составляющей часть бесконечное число особых классов порядка, то число различных однозначных интегралов, которые может допускать уравнение (1), не превосходит (включая интеграл

Действительно, предположим, что имеются различных интеграла; пусть

— эти интегралы, и предположим, что при они сводятся к

Пусть система значений х соответствует особому семейству порядка. Положим

В этом семействе будет существовать обыкновенных классов. Пусть

есть системы индексов, соответствующих этим классам.

Для рассматриваемых значений х будем иметь

Отсюда заключаем, что якобианы от функций (11) по любым переменным х должны обращаться в нуль при рассматриваемых значениях х. И поскольку это должно иметь место бесконечное число раз в каждой области то отсюда вытекает, что эти якобианы тождественно равны нулю, и, следовательно, наши интеграла не могут быть различными.

Впрочем, эти рассмотрения не представляют практического интереса, и я их привожу здесь только для полноты и строгости. Очевидно, можно искусственно построить задачи, в которых встречаются различные подобные ситуации; однако в естественно возникающих задачах динамики всегда оказывается, что либо все классы особые, либо они все обыкновенные, за исключением конечного числа.