Замечательные частные случаи

156. Как мы видели в , правые части разложений (4) и (17) можно представить в виде ряда по степеням

Если мы одновременно обратим в нуль все произвольные постоянные то переменные не будут зависеть от а будут зависеть лишь от Они будут разлагаться в тригонометрические ряды от

где целые числа.

В силу сказанного в п. 154, сумма в разложениях должна равняться нулю, так что эти переменные зависят лишь от По тем же причинам сказанное будет справедливо и для

Отсюда с очевидностью следует, что сделанное частное предположение соответствует какому-то периодическому решению. Нетрудно видеть, что найденные таким способом решения не отличаются от тех, которые мы в главе III назвали периодическими решениями первого сорта.

Отсюда можно заключить, что разложения (4), которые обычно не сходятся в математическом смысле этого слова, становятся сходящимися, если постоянные обращаются в нуль.

Поскольку постоянные вообще очень малы, ясно, что реально получаемое решение будет осциллировать вокруг периодического решения, не слишком удаляясь от последнего.

Рассмотрим теперь в разложениях и в выражениях (26) члены первого порядка относительно Учитывая результаты пунктов 153 и 154, нетрудно понять, что эти члены будут иметь вид

где периодические функции, разлагающиеся по синусам и косинусам аргументов, кратных

Интерпретация этого результата очевидна. В главе IV мы рассмотрели уравнения в вариациях относительно некоторого данного периодического решения. Рассмотрим теперь уравнения движения и то периодическое решение первого сорта, которое получим, если обратим в нуль все Выражения (27) будут не чем иным, как наиболее общими решениями соответствующих уравнений в вариациях.

Отсюда следует, что характеристические показатели относительно такого решения первого сорта будут иметь вид

Важно заметить, что в этом выражении постоянные (от которых зависят следует положить равными 0.

Может представиться случай, когда необходимо получить разложения (4) и (17) для периодических решений второго и третьего сорта так же, как мы это делали для решений первого сорта. Эта задача несколько более трудная.

Чтобы лучше выявить существо дела, я хочу сначала рассмотреть более простой пример. Обратимся вновь к рядам из п. 127 и попытаемся вывести из них периодические решения п. 42. Мы видели, что средние значения периодических функций в рядах п. 127 можно выбирать произвольно, в частности, их можно выбрать так, что будут равны нулю, коль скоро . Это условие можно реализовать и с помощью надлежащего выбора средних значений в то время как средние значения останутся произвольными.

Итак, предположим, что мы выбрали эти средние значения указанным образом и что, следовательно,

Кроме того, предположим, что выбраны так, что имеют некоторые наперед заданные соизмеримые между собой значения. В этом случае, как можно было бы усмотреть из вычислений п. 127, некоторые коэффициенты обращаются в бесконечность, если только константы Э не подобраны надлежащим образом, а средние значения остаются произвольными.

Если же выбор постоянных произведен так, как указано, то ряды п. 127 существуют, они сходятся и не отличаются от рядов п. 44.

Вернемся к задаче трех тел. Константы так же, как и средние значения различных членов разложений (4) и (17), рассматриваемые как периодические функции от выберем так, чтобы:

1) принимали наперед заданные соизмеримые между собой значения (замечу, что в обозначениях п. 155 равно нулю при ;

2) были равны нулю при

Выбор постоянных я могу произвести так, чтобы удовлетворить всем этим условиям и чтобы одновременно половина средних значений оставалась произвольной.

Но тогда, если бы потребовалось произвести вычисления, проводимые в пунктах 152 или 155, окажется, что некоторые коэффициенты обращаются в бесконечность, если только не подобрать надлежащим образом постоянные и а средние значения по-прежнему оставлять произвольными.

Коль скоро это сделано, ряды (4) и (17) существуют, они сходятся и не отличаются от рядов, представляющих решения второго и третьего сорта.

Предположим теперь, что мы обратили в нуль не обращая и нуль и Найдется некоторый ряд частных решений задачи трех тел. зависящих лишь от четырех аргументов

Это именно те решения, которые соответствуют плоскому случаю задачи трех тел. Число аргументов в этом случае равно 4, ибо таково число степеней свободы.

Можно, однако, заметить, что и выражения (26) зависят лишь от разностей

так же, как в п. 154.

Если в качестве переменных выбрать и указанные выражения (26), то число аргументов понизится до трех. Это соответствует тому случаю задачи, который разобран в п. 15, где имелось три степени свободы.

Представим себе теперь, что масса первой планеты бесконечно мала (случай малой планеты, возмущаемой Юпитером). Тогда величины

перейдут в

Эти величины так же, как и , будут постоянными, а будет равна

Отсюда следует, что

Число аргументов, которое было равно шести, понижается до четырех:

Однако в этомслучаенельзя заключить, что зависят лишьот разностей

В самом деле, рассуждения, приведенные в п. 154, позволяют нам лишь заключить, что в общем случае зависит только от пяти разностей

Поскольку две из величин представляют собой константы (именно так происходит в рассматриваемом нами частном случае), два из этих пяти аргументов отличаются друг от друга не более чем на константу, в силу чего их остается не более четырех. Однако нет никаких причин, по которым такое понижение числа независимых аргументов можно было бы провести дальше.

В силу п. 153 переменные по-прежнему будут допускать разложение по степеням

Предположим, что и равны нулю. Это соответствует случаю, когда три тела движутся в одной и той же плоскости (я по-прежнему считаю, что массы бесконечно малы). Тогда переменные не будут зависеть от и у нас останется только три аргумента, а именно:

Обратим еще в нуль постоянную Это соответствует случаю, когда орбита второй планеты круговая, т. е. задаче п. 9.

Поскольку наши переменные допускают разложение по степеням и

они не зависят ни от ни от ни от В силу п. 154 они зависят лишь от

Однако мы только что видели, что три из не должны входить в выражения для переменных, поэтому переменные зависят лишь от

Число аргументов понизилось до двух. Однако мы видели, что в задаче п. 9 имеется ровно две степени свободы. Если же, кроме того, положить то мы приходим к периодическим решениям, изученным Хиллом (см. п. 41, следует принять во внимание замечание, сделанное в трех последних строках).

Если в теории Луны считать, что на этот спутник действуют лишь Земля и Солнце, а относительное движение этих двух небесных тел кеплеровское, то указанная теория сведется к одному из рассмотренных выше частных случаев.

Однако часто требуется учесть возмущения, вносимые в движение Земли частью остальных планет, по-прежнему полностью пренебрегая прямым действием этих планет на Луну. Если стать на эту точку зрения, то относительное движение Земли и Солнца уже не будет кеплеровским, но все же будет известным, и Луна по-прежнему будет подвержена действию лишь этих двух движущихся тел, причем закон их движения известен.

Итак, предположим, что координаты Солнца относительно Земли можно представить рядами того же вида, как мы рассматривали в этой главе, зависящими от аргументов.

С помощью рассуждений, лишь незначительно отличающихся от тех, которые мы проводили в этой главе, нетрудно усмотреть, что координаты Луны также выражаются с помощью аналогичных рядов, зависящих от аргументов.

Чтобы то, что я под этим подразумеваю, было лучше понятно, я вновь обращусь к задаче п. 9. Представим себе, что Земля и Солнце описывают концентрические окружности. Координаты Солнца зависят в этом случае от аргументов, расстояния от Луны до Земли и до Солнца зависят от двух аргументов (именно тех, которые я только что обозначил — однако координаты Луны относительно фиксированных осей зависят от аргументов.

Аналогичные соображения применимы и в случае, когда число тел больше трех. Предположим теперь, что их, например, четыре. Тогда число переменных равно трем, а число переменных равно шести.

Предположим, что все шесть постоянных равны нулю одновременно. Первое следствие из этого предположения состоит в том, что движение происходит в плоскости. Кроме того, А, Я выражения (26), а следовательно, и взаимные расстояния между четырьмя телами, будут зависеть лить от двух аргументов

Отсюда не следует (как это было в том случае, когда мы, рассматривая только три тела, обратили в нуль все что ряды будут сходиться в

математическом смысле, однако можно попытаться вывести отсюда периодические решения п. 50.

Вот как следует это делать. Выберем постоянные интегрирования и средние значения различных членов разложений (4) и (17) так, чтобы:

1) величины

имели заданные соизмеримые между собой значения,

Постоянные и половина средних значений остаются произвола ными.

Если требуется произвести вычисления п. 152, то некоторые коэффициенты становятся бесконечными, если только и не выбраны надлежащим образом, а средние значения по-прежнему остаются произвольными.

Если выбор и произведен нужным образом, то ряды существуют, сходятся и представляют периодические решения п. 50.

Выводы

157. Таковы ряды, к которым приводят методы вычислений, изложенные в предыдущих главах. Исходная идея принадлежит Ньюкому, он же открыл и основные свойства этих рядов.

Эти ряды расходятся. Однако если разложения оборвать на каком-нибудь члене, я имею в виду обрыв разложения до того, как встретимся с малыми знаменателями, то ряды будут представлять координаты с весьма большой точностью.

Эти ряды можно использовать и по-иному.

Предположим, что мы оборвали разложение на каком-то члене и воспользовались затем методом вариации постоянных, приняв в качестве новых переменных . Эти новые переменные изменяются чрезвычайно медленно, и к дифференциальным уравнениям, определяющим их вариации, можно с успехом применять старые методы. Например, новые переменные можно разлагать по степеням времени.