Сведение рассматриваемых уравнений к уравнениям второго порядка

170. Уравнения (5а), уравнения второго порядка. Это связано с тем, что в левую часть уравнения (5) мы перенесли лишь те члены, которые зависят только от а в левую часть уравнения (6) — лишь те члены, которые зависят только от

Если затем в правых частях положить

то уравнение (5) будет содержать лишь одну неизвестную у, а уравнение (6) — лишь одну неизвестную

Однако такой прием не всегда законен. Например, может представиться случай, когда в правой части уравнения (5) некоторые члены, зависящие от имеют тот же порядок, что и главные члены, зависящие от однако их в левую часть не переносят.

Аналогичные соображения применимы и к уравнению (6). Если затем положить в правых частях равными нулю, то оба уравнения (5) и (6) будут содержать неизвестные После исключения одной из них получим уравнение не второго, а четвертого порядка.

Если в левую часть перенести члены, зависящие от и у, то результирующее уравнение будет такого же или даже более высокого порядка.

Чтобы свести уравнения к уравнениям второго порядка, Гильден использует в этом случае один метод, сущность которого я хотел бы пояснить.

Сначала рассмотрим уравнение четвертого порядка, например уравнение

где известные конечные функции от весьма малый коэффициент. Относительно этого уравнения докажем прежде всего, что если

начальные значения имеют порядок а, то все время будет иметь порядок а.

Пренебрегая членами порядка можно записать

в наше уравнение сведется к уравнению второго порядка.

Учтем члены порядка пренебрегая членами порядка В этом приближении получим

К этому результату можно прийти, умножая уравнение (1) на а и пренебрегая после умножения членами порядка

Уравнение (1) перейдет в уравнение

где

Полученное уравнение снова является уравнением второго порядка. Уравнение (3) выполняется с точностью до величин третьего порядка, т. е. с точностью до Следовательно, с точностью до величин четвертого порядка

Если в правую часть уравнения (1) вместо производных

подставить их выражения (4), то получится уравнение, выполняющееся с точностью до величин четвертого порядка. Порядок самого уравнения равен двум.

Аналогичным образом можно поступать и дальше.

Ясно, что тот же метод применим ко всем уравнениям вида

где а — малый коэффициент, разлагается по степеням по степеням

Уравнение (5) не будет линейным. Единственное отличие будет состоять лишь в том, что появятся члены высоких порядков относительно и производных от по Эти члены следует учитывать начиная со второго третьего приближений.

171. Рассмотрим теперь уравнение

где а — по-прежнему очень мало, а известные функции от После дифференцирования (проводимого для того, чтобы уничтожить знак интеграла) это уравнение станет уравнением третьего порядка. Однако Гильден, воспользовавшись малостью коэффициента а и применив метод, аналогичный по существу тому методу, который мы только что применяли к более простым примерам, свел это уравнение к уравнению второго порядка.

В самом деле, и а — величины первого порядка, так что

можно считать величиной второго порядка. Пренебрегая величинами третьего порядка, получаем

откуда

Интегрируя по частям и обозначая через производные С по находим

Квадратура вообще говоря, берется легко, так что

можно считать известной функцией от а интеграл [сведется к интегралу того же вида.

В общем случае в примерах, рассмотренных Гильденом, С имело вий

где и (1 — постоянные. Отсюда следует, что

Поэтому

откуда

Если в уравнение (6) вместо

подставить правую часть выражения (8) (что можно сделать, если пренебречь величинами третьего порядка малости), то уравнение (6) сведется к уравнению второго порядка.

Если С — сумма членов вида

то выражение

будет представлять собой сумму членов вида

причем каждое слагаемое можно преобразовать по формуле, аналогичной формуле (8). Уравнение (6) будет таким образом сведено к уравненшо второго порядка.

Уравнение (7) верно лишь с точностью до величин третьего порядка. Если требуется учесть и эти величины, то необходимо записать уравнение

где для краткости введено обозначение

Если снова предположить, что сумма С состоит из одного слагаемого

то

так что из уравнения (6) мы получим, перенеся некоторые из членов в левую часть

В общем случае в левой части можно сохранять не все перенесенные нами члены, а только главные из них. Если остальные члены вновь перенести в правую часть, получим уравнение вида

где известные функции от

Это обстоятельство позволяет действовать следующим образом. Прежде всего положим в правой части Мы получим линейное уравнение с правой частью, которое можно проинтегрировать и получить первое приближение для а следовательно, и для а. Подставив эти приближения в правую часть уравнения, получим новое линейное уравнение с правой частью, из которого найдем второе приближение для и и т. д.

Ясно, что точно таким же образом можно было поступать и в том случае, если бы уравнение (6) не было линейным, а содержало, например, более высокие степени Единственное отличие состояло бы в том, что правая часть уравнения (9) содержала члены вида

где известные функции от . В этих членах, имеющих порядок, по крайней мере, относительно а, нетрудно так же, как и в остальных членах правой части, сначала положить затем вместо подставить первое приближение, затем второе и т. д.

Этот метод имеет смысл применять, когда к мало отличается от 1. В этом случае выражение

несомненно малое, будет во много раз больше а. Поэтому ясно, что различные члены в правой части уравнения (8) станут достаточно большими для того, чтобы их нельзя было отбросить в первом приближении.

В противном случае проще было бы оставить член

в правой части и полагать равным сначала нулю, а затем различным приближенным значениям.

Таким образом, чаще всего в левую часть уравнения приходится переносить лишь небольшое число (обычно лишь один) членов вида

Метод приведения уравнений к уравнениям второго порядка, о котором только что шла речь, обладает преимуществами лишь при условии, если А не содержит членов с или В противном случае интеграл

содержал бы член с и переменная входила бы в выражение не только под знаком тригонометрических функций.

Это обстоятельство не возникает в тех приложениях, для которых Гильден использовал свой метод. Однако и в тех случаях, когда оно имеет место, всегда можно избежать его.

В самом деле, запишем уравнение (6) в виде

До сих пор мы считали А известной функцией от Но я могу предположить, что А зависит не только от но и от (линейно или нелинейно, непосредственно или через производные или же через интегралы вида

Требуется лишь, чтобы члены А, зависящие от были малы по сравнению с членом

перенесенным в левую часть.

После этого в А вместо подставляем сначала нуль, затем последовательные приближения для Таким образом, А можно в каждом приближении считать известной функцией от

При этих условиях уравнение представляет собой линейное уравнение с правой частью. В самом деле, если положить

то будут линейно выражаться через производные от х.

Чтобы проинтегрировать неоднородное уравнение, достаточно уметь интегрировать уравнение без правой части

Это уравнение имеет тот же и уравнение к нему можно применить тот же метод. Единственное отличие состоит в том, что А теперь равно нулю, и та трудность, о которой только что говорилось, не возникает.

172. То, что мы делаем, сводится к следующему. Предположим, что член, содержащий однократный интеграл

достаточно велик для того, чтобы его необходимо было перенести в левую часть. С помощью преобразования, которое было рассмотрено выше, этот член можно заменить суммой членов, зависящих лишь от (причем в этой сумме можно не учитывать те члены, которые достаточно малы для того, чтобы их можно было вновь перенести в правую часть).

Предположим теперь, что в левую часть необходимо перенести член, содержащий повторный интеграл, т. е. член вида

где известные функции от Пренебрегая членами, которые можно оставить в правой части, получим

где известные функции от откуда

Таким образом, М содержит лишь члены, зависящие от однократного интеграла. Следовательно, М можно преобразовать так же, как мы делали в предыдущем пункте.

Остается показать, каким образом члены, содержащие однократные или повторные интегралы, могут появиться в наших уравнениях.

Эти уравнения можно записать в виде

где А, В, С, E, F, G и H - известные функции от зависят от или от более высоких степеней

Отсюда найдем

где новая известная функция от которую нетрудно выписать, а

зависит от и более высоких степеней

Очевидно, что, выделив члены

можно перенести их в левую часть уравнения и преобразовать так, как говорилось выше.

173. Наше уравнение привелось к виду

где известные функции от а величина С содержит неизвестные функции, в частности функции Однако эти неизвестпые величины необходимо сначала заменить нулем, затем их последовательными приближениями, так что С мояшо считать известной функцией от

Выписанное уравнение является линейным с правой частью, однако его можно упростить еще больше, если уничтожить член с . Как известно, для этого достаточно положить

Уравнение запишется в виде

где новые известные функции от

В общем случае в достаточно удержать только один член, а остальные перенести в правую часть, так что рассматриваемое уравнение будет иметь вид уравнения (6а) из п. 169.

174. До сих пор предполагалось, что движение трех тел происходит в одной плоскости. Мало что изменилось бы и в том случае, если бы потребовалось учесть наклонения орбит.

Пусть и 0 означают радиус-вектор, долготу и широту первой планеты. В обозначениях п. 167 уравнения движения запишутся так

Положим

и введем, кроме того, так же, как и в п. 167, вспомогательную переменную определяемую уравнением

Получим уравнение

аналогичное уравнению (5) из . Аналогично найдем

где - комбинации производных возмущающей функции. В можно подставить вместо координат планет их приближенные значения. Тогда правые части уравнений (1) и (3) будут известны и можно будет

вычислить Если известно а следовательно, и 0, то правая часть уравнения (2) в свою очередь будет известна, что позволит вычислить и.

Действуя так, мы поступали бы в духе старых методов. Гильден же, напротив, переносил бы в левые части уравнений (1), (2), (3) некоторые члены (наиболее важные) из правых частей и, воспользовавшись для приведения получившихся уравнений к уравнениям второго порядка методами пунктов 170—173, получал бы уравнения того же вида, что и уравнения п. 169.