Применение теоремы Адамара

187. Нам осталось изучить уравнение

Для этого введем прежде всего детерминант, который Хилл обозначал символом Возьмем определитель и умножим его нулевую строку на

а строку с номером на

Я утверждаю, что полученный при этом определитель также будет сходиться. В самом деле, если обратиться к данному выше определению предела бесконечного (в обе стороны) определителя, то видно, что

где П — предел, к которому стремится произведение сомножителей

когда неограниченно возрастает. Следовательно, П есть предел бесконечного произведения

которое, очевидно, сходится. Следовательно, сходится и .

Обозначим через тот элемент определителя который принадлежит строке с номером и столбцу с номером Тогда

Заменим в величину на х и изучим свойства полученной таким образом функции

Прежде всего, я утверждаю, что эта функция целая.

Действительно, заменив на х, мы, очевидно, получим

В силу неравенства (6) п. 185 отсюда следует, что

Введя для краткости обозначение и объединяя те множители в произведении, которые соответствуют равным по величине, но противоположным по знаку значениям мы сможем записать бесконечное

произведение в виде

Ясно, что оно сходится и всегда конечно. Следовательно, определитель также сходится.

В процессе доказательства предполагалось, что переменные х вещественны. Однако если переменные х мнимые, то это не влечет за собой никаких существенных изменений. Чтобы усмотреть это, достаточно вместо

записать

Итак, определитель конечен и при любом мнимом х. Следовательно, есть целая функция.

Если бы потребовалось подробно доказать, что определитель обладает и остальными свойствами целой функции, а именно, непрерывен и имеет производную, то для доказательства достаточно было бы заметить, что определитель, пределом которого является сходится равномерно.

В самом деле, обозначим через определитель, образованный из строк и столбцов определителя V с номерами от до Имеем

Пусть С — некоторый замкнутый контур в нлоскогди некоторая точка этого контура и какая-то точка внутри Поскольку полином, то, очевидно,

где интеграл, разумеется, берется по контуру С. Ясно, что функция

является голоморфной функцией от Я утверждаю, что равна Действительно, как следует из ьриведеиного выше доказательства, сходимость равномерна. Поэтому можно выбрать достаточно большим для того, чтобы в точке хина всем конутуре С

и, следовательно,

где I — длина контура С, деленная на минимум

Итак, разности можно сделать сколь угодно малыми. Это и означает, что Следовательно, функция голоморфна, что и требовалось доказать.

Я утверждаю, теперь, периодическая функция.

В самом деле, обозначим через конечный определитель, составленный из строк и столбцов определителя с номерами от до , а через определитель, составленный из соответствующих строк и столбцов .

Доказательство сходимости бесконечного в обе стороны определителя дано в для случая, когда все элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1. При этом отнюдь не предполагается, что строк с отрицательными номерами столько же, столько и с положительными. Следовательно,

Кроме того, ясно, что

где П означает произведение сомножителей

принимает значения .

Из сравнения определителей сразу же видно, что

Устремим к бесконечности. Тогда левая часть устремится к , а правая к

Ранее мы] нашли

где П означает произведение сомножителей (5), а пробегает значения

Следовательно,

откуда

Это в свою очередь влечет за собой равенство

что и требовалосьдоказать.

Кроме того,

и, следовательно,

Продолжая исследование целой функции я хочу доказать, что это функция рода нуль, если рассматривать ее как функцию от х. Известно, что целую функцию называют функцией рода нуль, если ее можно разложить в бесконечное произведение вида

Более общим образом целую функцию называют функцией рода если ее можно разложить в произведение бесконечного числа первичных множителей вида

где Р — некоторый полином степени относительно х.

Для доказательства этого существенного момента воспользуемся некоторыми установленными выше неравенствами.

Найдем верхний предел выражения

Поскольку функция V периодическая с периодом 2, я всегда могу предположить, что у заключено между Тогда

и, следовательно, если ввести, как это делалось выше, обозначение

и воспользоваться нашим основным неравенством, получим

Правая часть этого неравенства является функцией от которую я обозначу через

Положим временно и рассмотрим функцию Нетрудно видеть, что функция рода 1.

В самом деле, функция есть функция рода 0 и ее можно представить в виде

Символом я обозначил корни уравнения Тогда

или

Нетрудно проверить, что три произведения, фигурирующие в правой части, сходятся абсолютно.

В «Bulletin de la Societe Mathematique de France» я доказал, что если функция рода 1, то

если х стремится к бесконечности вдоль некоторого луча причем так, что стремится вдоль этого луча к нулю.

Следовательно, если а и вещественны и положительны, то

Если у изменять от —1 до +1, то левая часть будет стремиться к своему пределу равномерно, откуда следует, что можно найти два положительных числа а и К, таких, что

Вводя обозначение и замечая, что

получаем

Рассмотрим теперь разложение

Имеем

интеграл берется по окружности некоторого радиуса с центром в начале координат.

Отсюда заключаем, что

причем это неравенство выполняется при любом Но минимум

равен

откуда

Заметим, что функция четная, следовательно, коэффициенты равны нулю.

Я намереваюсь доказать, что функция V» если рассматривать ее как функцию является функцией рода пуль. В силу теоремы Адамара (см. «Gomptes rendus», t. CXV, p. 1121) [53] для этого достаточно показать, что

где больше 1.

Тогда

Если заменить приближенным значением, то правая часть неравенства будет иметь вид

Требуется доказать, что при это выражение остается ограниченным. Но если

то это выражение при стремящемся к бесконечности, стремится к нулю»

Следовательно, достаточно выбирать удовлетворяющим неравенству

Отсюда следует, что функцию можно разложить в произведение вида

Итак, необходимо еще знать нули функции В силу определения эти нули имеют вид

где целое число. Действительно, при этих и только этих значениях можно удовлетворить уравнениям (2) и (2bis) п. 186 и, следовательно, уравнению (3) п. 186.

Таким образом, нули те что и нули функции

Поскольку обе эти функции допускают разложение в бесконечные произведения вида (5), причем сомножители, входящие в эти произведения, совпадают с точностью до постоянной А, эти две функции могут отличаться лишь постоянным множителем

Но зависит не только от является целой функцией от Точно так же доказывается, что есть функция рода 0 как относительно так и относительно

Пусть, например,

Тогда

Так же, как и ранее, можно доказать, что при заключенном между 1 и 3/2, выполняется неравенство

Поскольку это неравенство должно выполняться при любом должно удовлетворять неравенству того же вида, так что А будет функцией рода О относительно Аналогичным образом можно было бы проверить, что А есть функция рода 0 относительно

Но А не может обращаться в нуль, ибо не обращается в нуль тождественно по х. Функция рода 0, не имеющая нулей, равна некоторой постоянной.

Следовательно, А не зависит ни от ни от

Чтобы сделать более наглядной зависимость от запишем равенство (6) в виде

При

Следовательно,

Поделив первое равенство на второе и положив получим

откуда следует, наконец, что

так как

Значение Хилл находил именно из равенства (7).

В силу приведенных выше соображений законность его метода впредь следует считать строго установленной.