Глава XIX. МЕТОДЫ БОЛИНА

Метод Делоне [54]

199. Обратимся еще раз к предположениям и обозначениям п. 125. Мы уже видели, что применение метода п. 125 приводит к появлению делителей вида

где целые числа.

Это вызывает сомнения в пригодности метода, когда указанные делители становятся малыми.

Среди методов, предложенных для преодоления этой трудности, метод Делоне является первым по времени, и его изложение облегчает понимание всех остальных методов.

Прежде всего рассмотрим систему канонических уравнений

и предположим, что функция зависит только от

и является периодической с периодом по последней переменной. Я предполагаю, что целые числа.

Тогда интегрирование системы (1) сводится к интегрированию уравнения с частными производными

где С — произвольная постоянная. Но это интегрирование выполняется без труда.

В самом деле, положим

Наше уравнение запишется в виде

Разрешим это уравнение относительно тогда

Это выражение проинтегрируем по считая константами. Мы получим а следовательно, и S в виде функции от и С.

На некоторых тонкостях этого метода необходимо остановиться более подробно. Для этого я хочу разобрать один особенно простой частный случай, взяв

где параметр очень мал.

Наше уравнение запишется в виде

неоткуда

Могут представиться несколько возможностей.

1. Случай

В этом случае радикал всегда вещественный и никогда не обращается в нуль. Он принимает два значения: одно положительное при всех значениях другое отрицательное при всех значениях Будем считать, что взято, например, первое значение. Оно допускает разложение по косинусам аргументов, кратных так что

Для наглядности я выделил свободный член в правой части, обозначенный Ясно, что зависит от С и, следовательно, С зависит от С другой стороны, коэффициенты зависят от С, а следовательно, и от

Итак, выражение

задает S как функцию и произвольной постоянной

2. Случай

В этом случае величина, стоящая под радикалом,

не будет все время положительной и, следовательно, можно придавать не всевозможные значения, но только такие, при которых радикал будет вещественным.

Можно ввести вспомогательную переменную положив, например,

откуда

или

Поскольку меньше радикал в правой части всегда вещественный допускает разложение в тригонометрический ряд вида

откуда

Мы получаем S в виде функции от вспомогательной переменной и постоянной С.

3. Случай

Пусть, например,

Тогда

или

S выражена как функция от и является функцией, периодической по однако на этот раз период равен не

Добавлю еще, что если то радикал будет мнимым при всех значениях если же то он не будет мнимым лишь при

То, что при этом происходит, можно пояснить двумя способами.

1. Во-первых, путем рассмотрения эллиптических функций.

В самом деле, мы видим, что

представляет собой эллиптический интеграл, и если положить

то выражения

будут двоякопериодическими функциями от и.

Таким образом, изученные нами ранее различные случаи отвечают различным предположениям, которые можно сделать по поводу дискриминанта эллиптических функций.

Рис. 7

2. Во-вторых, с помощью наглядных геометрических представлений.

В самом деле, мы можем построить кривые, перейдя к полярным координатам и выбрав в качестве радиуса-вектора (А — некоторая константа), а в качестве полярного угла При этом мы получим фигуру, изображенную на рис. 7.

Кривые, начерченные сплошной линией, соответствуют предположению о том, что Кривая, проведенная пунктиром, отвечает предположению о том, что

Штрих-пунктирная кривая, имеющая двойную точку В, относится к случаю Наконец, кривая, отвечающая случаю вырождается в одну-единственную точку А.

Если к рассматриваемой нами сейчас задаче требуется применить методы п. 125, то S необходимо разложить по степеням и. В самом деле,

допускает разложение по степеням и и, следовательно, то же справедливо и для S. Единственное отличие состоит в том, что последнее разложение сходится лишь при

Если это условие не выполняется, то методы п. 125 теряют свою силу и необходимо обращаться к методу Делоне, т. е. к тому методу, изложением которого мы сейчас и заняты. Обращение к этому методу имеет особое преимущество, если С будет того же порядка, что и ибо в этом случае разложения п. 125 сходятся весьма медленно.

Заметим, что разложение радикала имеет вид

и если С мало, то сходиться это разложение будет очень медленно, а может и вообще не сходиться.

Если положить то разложение примет вид

и все его члены относительно будут одного и того же порядка. Кроме того, очевидно,

200. Перейдем теперь к несколько более общему случаю и предположим, что функция зависит лишь от причем по она периодическая.

Наше уравнение с частными производными примет вид

из него мы должны найти S.

Предположим, что

и что зависит лишь от

Могут представиться несколько случаев.

Предположим, что функция уже разложенная по степеням оказывается еще и голоморфной по Именно так обстоит дело во всех приложениях.

Тогда, пользуясь методами п. 30 и последующих, уравнение

можно разрешить относительно При это уравнение запишется в виде

Пусть некоторая величина, удовлетворяющая уравнению (3). Тогда можно найти из уравнения (2) в виде ряда, расположенного по степеням с коэффициентами, зависящими от если только

где означает производную от

Наоборот, если

то мы по-прежнему получим в виде некоторого ряда, но на этот раз расположенного не по степеням а по степеням

Рассмотрим оба эти случая в отдельности.

Пусть вначале . Поскольку а следовательно, и S допускают разложение по степеням положим

Предположим, кроме того, что производная равна постоянной Затем последовательно вычислим остальные функции причем вычисления будем производить в точности так же, как в п. 125.

Переходим ко второму предположению, согласно которому В этом случае S допускает разложение по степеням и я могу записать

Предполагая, по-прежнему, что

я получу

Я предполагаю, что в правой частив функциях переменная заменена константой

Аналогично положим

чтобы наглядно показать, что постоянная в правой части уравнения может зависеть от

Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях уравнения

получим

В третьем уравнении системы (4) я предполагаю, что функция известна, в четвертом я считаю, что известна в пятом я предполагаю известными и т. д. Ф, как и ранее, означает известную функцию.

Третье уравнение системы (4) позволяет нам вычислить поскольку функция константа. Имеем

Здесь может представиться ряд возможностей, отвечающих различным случаям, разобранным выше при рассмотрении более простого примера.

Может случиться так, что остается больше каковы бы ни были значения, придаваемые переменной . В этом случае будет периодической функцией от с периодом

Но может случиться и так, что условие

будет выполняться, лишь при некоторых значениях переменной В этом случае будет вещественной лишь при тех значениях при которых это неравенство выполнено.

Коль скоро функция определена, четвертое уравнение системы (4) позволяет найти пятое уравнение — функцию и т. д.

Полученное решение является вполне удовлетворительным в первом случае, когда функция имеет вещественные значения при всех Однако в противном случае необходимо обратить внимание на одно обстоятельство.

Значения при которых различные функции перестают быть вещественными и становятся мнимыми, задаются уравнением

Можно считать, что и S при тех же значениях перестает быть вещественной и становится мнимой. Однако это не совсем точно: значения при которых функция S превращается из вещественной в мнимую, задаются уравнениями.

Эти значения и в самом деле мало отличаются от первых, если параметр очень мал, но все же не совпадают с ними.

Существует много способов обойти эту трудность. Можно, например, пользуясь произвольностью величин положить (и то же проделать со всеми другими С с нечетным индексом).

Далее мы последовательно вычислим

и получим

Поскольку ничто не отличает от , получим еще одно решение, поменяв знаки у радикалов

Эти два решения либо оба вещественные, либо комплексно-сопряженные.

Отсюда следует, что величины

всегда вещественны.

Кроме того, выражение

всегда вещественное или чисто мнимое. И поэтому для того чтобы получить уравнение, задающее те значения при которых S перестает быть вещественной и становится мнимой, достаточно приравнять нулю выражение (5).

Как же перейти от случая, когда функция S принимает только вещественные значения, к случаю, когда S то вещественна, то мнима?

Этот переход станет более понятным, если построить следующую фигуру, аналогичную изображенной на рис. 7 (рис. 8).

Рис. 8

Выберем в качестве радиуса-вектора а в качестве полярного угла переменную и построим кривые

или по крайней мере те из них, у которых производная мало отличается от

Последние мало отличаются от кривых, у которых радиус-вектор равен

а производная задается формулой

Для построения кривых необходимо сделать предположение о том, как меняется функция при изменении от 0 до Предположим, например, что проходит через максимум, затем через минимум, затем снова через максимум, больший, чем первый, затем снова через минимум, меньший, чем первый. Мы получим при этом фигуру, изображенную на рис. 8.

Ясно, что при убывании мы получим последовательно:

Если больше наибольшего из максимумов, — две концентрические кривые, изображенные на рисунке линией, состоящей из штрихов.

Если равна наибольшему максимуму, — кривую с двойной точкой, изображенную сплошной линией.

Если заключена между двумя максимумами, — кривую, аналогичную изображенной штрих-пунктиром.

Если равна меньшему максимуму, — кривую с двойной точкой, изображенную пунктиром.

Если становится меньше, чем меньший ил максимумов, эта кривая распадается на две другие, изображенные жирным пунктиром. Одна из этих кривых вырождается в точку, а затем исчезает, когда становится равной большему из минимумов, другая вырождается в точку и в свою очередь исчезает, когда становится равной меньшему из минимумов.

Очевидно, что переход от одного случая к другому осуществляется через кривую с двойной точкой. Именно это обстоятельство и делает необходимым изучение этих кривых, в особенности первой, изображенной сплошной линией.

Представим себе некоторое тело, описывающее данную кривую в непрерывном движении. Исходной его точкой служит, например, какая-то двойная точка. Тело совершает оборот по одному витку кривой, возвращается в двойную точку, описывает второй виток и, наконец, возвращается в исходную точку. Ясно, что такое движение периодично, но период его вдвое больше, чем период, отсчитываемый по Таким образом представляет собой периодическую функцию от но с периодом не

Вернемся к уравнениям (4). Итак, мы нашли, что если придать значение, соответствующее максимуму то радикал

равный будет периодической функцией от с периодом и, следовательно, его можно будет разложить по синусам и косинусам аргументов, кратных

Если возрастает на то радикал меняет знак, в силу чего разложение должно содержать лишь нечетные кратные Радикал дважды обращается в нуль.

В самом деле, если значение переменной которое соответствует максимуму функции то функция обратится в нуль при и при

Тогда из уравнений (4) следует, что при любых постоянных производные

будут периодическими функциями от с периодом Лишь при

эти функции могут обращаться в бесконечность.

Однако мы зпаем, что постоянные можно подобрать так, чтобы это обстоятельство не имело места. Сказанное в достаточной мере подтверждается существованием кривой, изображенной сплошной линией на рис. 8. Посмотрим теперь, как следует выбирать постоянные

Если предположить, что постоянные с нечетным индексом

равны нулю, то уравнения (4) не изменятся при замене на Отсюда следует, что если функция

удовлетворяет нашему уравнению, то тоже будет справедливо и для функции

Эти функции являются двумя решениями уравнения (4) и ясно, что перейти от одного решения к другому можно с помощью замены на Однако уравнения (4) не изменяются и при замене на Следовательно, мы перейдем от одного решения к другому, заменив у х на

Отсюда вытекает следствие.

Если заменить на то функции с четным индексом не изменятся, а функции с нечетным индексом изменят знак.

Однако поскольку производная обращается в нуль при и при и входит в левую часть уравнений (4) в виде

множителя, производные

могут обращаться в бесконечность.

В самом деле это и происходит, если только постоянные не выбраны подходящим образом.

Однако указанный выбор постоянных можно произвести и так, что функции будут конечными при всех

Чтобы доказать это, рассмотрим уравнение

которое я перепишу в виде

Это уравнение, если рассматривать как координаты некоторой точки, задает какую-то кривую. Необходимым условием существования у этой кривой двойной точки является одновременное обращение в нуль производных:

Это условие можно также записать и в виде

ибо не зависит от

Разрешим уравнения (5) относительно При находим

Функциональный определитель уравнений (5) при записывается в виде

и, вообще говоря, отличен от нуля. Следовательно, уравнения (5) можно разрешить относительно причем будут рядами, расположенными по степеням Пусть

— полученные разложения. Очевидно, что функцию

можно разлагать по степеням Пусть

— такое разложение. Я утверждаю, что если в уравнениях (4) постоянным придать значения, получающиеся из разложения (6), то функции останутся конечными.

Чтобы убедиться в этом, положим

и рассмотрим уравнение

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (2). Следовательно, его можно рассматривать таким же образом, т. е. положить

и найти функции из уравнений аналогичных уравнениям (4) и отличающихся от последних лишь штрихованными символами. Единственное отличие состоит в том, что на этот раз все константы будут равны нулю и при будем иметь

Итак, если считать, что функция разложена по степеням х и у, то это разложение начинается с членов второго порядка относительно х и у, причем при любом Разложения функций также начинаются с членов второго порядка. Следовательно, если считать, что функции Ф, фигурирующие в правых частях уравнений разложены в окрестности по степеням у и то разложения всегда начинаются с членов второго порядка.

Прежде всего видно, что обращается в нуль при Следовательно, можно не опасаться, что обращается в бесконечность при Более того, я утверждаю, что при этом значении у производная равна нулю.

В самом деле, предположим, что это верно для

Я утверждаю, что это в равной степени Еерно и для Рассмотрим уравнение

где означает вторую производную от допускает разложение по степеням Поскольку является простым нулем для всех этих величин, а разложение функции Ф начинается с членов второго порядка, для функции Ф значение является двукратным нулем.

Для это значение является простым нулем.

Следовательно, оно является простым нулем для что и требовалось доказать.

Итак,

Отсюда получаем, что

означает функцию в которой аргумент у заменен на

Пусть

— разложения Приравнивая члены одинаковых порядков в правой и левой частях (7), получим

В производных от величииу у следует заменить на

Очевидно, что остаются конечными.

Коль скоро мы доказали, что константы можно выбрать так, чтобы производные не обращались в бесконечность, выбор этих постоянных можно произвести, не обращаясь для этого к разложениям а и

Для этого достаточно воспользоваться уравнениями (4).

Рассмотрим одно из этих уравнений:

Если четно, возьмем

а поскольку функция Ф периодическая с периодом получим

так что производная не обращается в бесконечность ни при ни при

Если нечетно, то необходимо выбрать и условие

[которое влечет за собой условие

ибо функция Ф меняет только знак, если возрастает на будет такжэ выполнено.

Кроме того, отсюда следует, что производная никогда не обращается в бесконечность.

Отсюда же, наконец, следует, что можно разлагать по синусам и косинусам аргументов, кратных если четно, и по синусам и косинусам нечетных кратных если нечетно.

Я потому столь подробно останавливаюсь на почти очевидных вещах, что впоследствии мне придется рассматривать аналогичную, но более сложную задачу. Именно поэтому мне и хотелось бы особенно подчеркнуть эту аналогию.

201. Посмотрим теперь, как происходит переход от первого случая, когда

и когда методы п. 125 оказываются применимыми, ко второму случаю, когда

Именно этот второй случай мы и намереваемся изучить подробно.

Прежде всего заметим, что величина представляет собой то, что в п. 125 и в остальных частях настоящего труда мы обозначали —

Поэтому, обозначив

мы получим ряд уравнений вида

Как я указывал в п. 125, величины можно задавать произвольно. Я буду предполагать, что эти величины выбраны так, что среднее значение равно нулю, и, следовательно, есть периодическая функция от

Ясно, что в разложении производной в знаменатель могут входить различные степени так что если мало, то некоторые члены разложения могут становиться значительными. Поэтому важно прежде всего выявить ту максимальную степень, в которой может входить в знаменатели различных членов

Я утверждаю, что показатель этой наибольшей степени равен самом деле, функция с одной стороны, зависит от а с другой — от параметра и постоянной интегрирования Я не говорю уже о постоянных которые полностью определяются условием

и тем, что среднее значение

Выберем в качестве постоянной интегрирования вместо величину п°. Тогда S будет функцией, зависящей от Разложимее по степеням и Разложение будет содержать отрицательные степени Уравнение

показывает нам, что разложение производной по возрастающим степеням констант начинается с члена, содержащего

Перейдем к уравнению

Здесь Ф зависит от поскольку Ф получается при замене в переменной разложением

и удержании в этом разложении членов, содержащих ясно, что Ф может содержать в степени не выше второй, так как куб величины должен был бы иметь коэффициент и, следовательно, не мог дать члена с

Итак, разложение функции Ф, а следовательно, и разложение будет начинаться с члена

Разложение же начинается с члена

Закон, которому следуют первые члены разложений, очевиден: разложение производной начинается с члена

В самом деле, предположим, что это верно для

Я утверждаю, что это верно и для

Рассмотрим уравнение

Ф является полиномом относительно

Рассмотрим какой-нибудь член и этого полинома и постараемся вычислить сумму индексов различных множителей вида входящих в и. Этот член и получается из члена, содержащего коэффициент в разложении

и поэтому эта сумма равна самое большее Кроме того, если эта сумма равна в точности то поскольку ни один из индексов не равен рассматриваемый член и содержит по крайне мере два множителя.

Разложение и по степеням начинается с члена

Но

Если

то

если

то по-прежнему

ибо член и состоит по крайней мере из двух сомножителей.

Итак, разложение Ф, а следовательно, и разложение начинается с члена

а разложение начинается с члена

что и требовалось доказать.

Однако — произвольная постоянная. Заменим ее каким-нибудь разложением:

Тогда S можно разложить по положительным степеням и положительным и отрицательным степеням

Если коэффициент отличен от нуля, то положительные и отрицательные степени величины

можно в свою очередь разложить по положительным степеням так что в результате окажется, что функцию S можно разлагать по положительным степеням

В силу сказанного в п. 125 эти разложения будут такими же, как те, что мы получали исходя из уравнений (1), однако постоянные будут иметь иные значения, чем те, которые мы придавали им выше.

Предположим теперь, что постоянная очень мала и заменим разложением вида

На этот раз отрицательные степени величины

нельзя разлагать по положительным степеням но

будет разлагаться по положительным степеням причем разложение будет начинаться с члена

Если заметить теперь, что как мы только что видели, можно разложить по степеням

то мы придем к выводу, что S можно разложить по положительным степеням

Полученные таким способом разложения не будут отличаться от тех, к которым мы пришли в предыдущем пункте с помощью уравнений (4), придавая постоянным различные значения.

Во избежание недоразумений я буду обозначать через

то разложение, к которому приходим исходя из уравнений (1), причем как я уже говорил ранее, в этом случае выбираем так, чтобы среднее значение было равно нулю.

Временно я буду обозначать через

разложение, получающееся при замене в (3) разложением (2), с упорядочением результата такой подстановки по степеням

Что в этом случае представляют собой коэффициенты и т. д.? Коэффициент получится, если в вместо постоянной подставить 0.

Коэффициент получают следующим образом. Укажем явно зависимость S от записав Мы нашли, что

Имеем

или

где имеет тот смысл, что и в уравнениях (4) п. 200.

С другой стороны, коэффициент содержит члены, получающиеся из Эти члены находят следующим образом.

Выберем в разложении (3) все члены вида

Пусть

— совокупность таких членов.

Тогда

Отсюда следует, что если в разложении (3) сгруппировать все члены, содержащие т. е. все члены, входящие в разложение (5), и возвести в квадрат производную

то квадрат ее будет состоять из двух членов

Этот результат замечателен еще и тем, что, как мы вскоре увидим, он переносится на все уравнения динамики.

Чтобы найти необходимо принять во внимание не только и члены, содержащие

но и члены, содержащие

Итак, переход от случая, когда методы п. 125 применимы, к случаю, когда эти методы отказываются служить, происходит следующим образом. Если постоянная) очень мала, то порядок величины члена разложения зависит не только от показателя степени но и от показателя Если предположить, что постоянная того же порядка, что и то совокупность членов, имеющих одинаковый порядок, выделяют, а затем их суммируют.

202. Все эти результаты допускают непосредственное перенесение на более общий случай, рассмотренный в начале п. 199.

Предположим прежде всего, что зависит от В этом случае мы должны рассмотреть уравнение

Чтобы проинтегрировать его, мы придадим

некоторые постоянные значения

и таким образом получим уравнение

гого же вида, что и уравнения, которыми мы занимались в двух предыдущих пунктах.

Однако на этот раз решение S содержит не одну произвольную постоянную произвольных постоянных

Если основное уравнение записать в виде

то его нетрудно привести к виду (1). В самом деле, положим

где целые числа, выбранные так, чтобы определитель, составленный из коэффициентов уравнений (3), был равен 1. Это всегда возможно, если целые числа взаимно просты, что всегда можно предположить.

Тогда уравнение с частными производными (2) запишется в виде

и, таким образом, приведется к виду (1). Следовательно, все, что было сказано относительно уравнений вида (1), относится и к уравнениям вида (2).

Мы можем находить решения уравнения (2), которые подобно решениям уравнения (1) будут допускать разложения то по степеням то по степеням

При функция S будет иметь вид

Полный интеграл уравнения с частными производными (2) должен содержать произвольных постоянных. В качестве произвольных постоянных можно взять либо положив

Однако более удобно ввести бесконечно много произвольных постоянных, среди которых лишь независимых. Этими константами будут

если правую часть уравнения (2) приравнять

Если

то S можно разложить по степеням и наоборот, если

то S можно разложить по степеням у.

В частности, придав постоянным Пп некоторые значения, предположим, что постоянные выбраны так, что

периодически зависит от у. Мы получим разложение, соответствующее тому, из которого в начале п. 20 были выведены уравнения (1).

В этом разложении в знаменатель входят различные степени

Затем постоянные интегрирования заменим различными разложениями по степеням

Пусть, например,

Я предполагаю, что

Отсюда следует, что разложение величины

начинается с члена, содержащего

Если затем мы расположим члены S по положительным возрастающим степеням то получим различные разложения, аналогичные разложениям, подробно изученным нами в п. 201.

203. После этого нетрудно понять существо метода Делоне.

Обратимся к общему случаю уравнений динамики и предположим, следовательно, что наша функция

зависит не от суммы тгух а от каждого из аргументов и, кроме того, периодична по этим аргументам.

Если все линейные комбинации с целыми коэффициентами

достаточно велики, то методы п. 125 можно применять без особого труда. Но если хоть одна из этих линейных комбинаций очень мала, то в особую роль будут играть члены, зависящие от аргумента

Предполагается, что разложена в тригонометрический ряд, т. е. в последовательность членов, каждый из которых равен произведению

или

— целые числа) на некоторый коэффициент, зависящий от Рассмотрим совокупность указанных членов, таких, что

Пусть

— совокупность этих членов.

В частности, эта совокупность включает в себя все члены не зависящие от например, все члены так что

Рассмотрим теперь уравнение

Его нетрудно проинтегрировать с помощью методов, изложенных в первых пунктах настоящей главы.

Пусть

— одно из решений этого уравнения. Коэффициенты являются постоянными интегрирования, которые я обозначал ранее через но теперь обозначу символом поскольку вскоре мне понадобится выбрать их в качестве новых независимых переменных.

Что же касается то эта величина представляет собой периодическую функцию от

зависящую, кроме того, от так что среднее значение является не чем иным, как а выписанное выше выражение для S не отличается от выражения для вытекающего из уравнений (1) п. 202. Положим теперь

Возьмем в качестве новых переменных Канонический вид уравнений не изменится; прежний вид сохранит и функция выраженная через х Лишь коэффициенты членов, содержащих

будут гораздо меньше коэффициентов соответствующих членов, зависящих от

Долгопериодические неравенства исчезнут, так как в конечном счете они будут учтены начиная с первого приближения.