Расходимость рядов

212. Ряды, полученные нами в этой главе, расходятся так же, как и ряды Ньюкома и Линдштедта.

В самом деле, рассмотрим один из рядов определенных в п. 204. Этот ряд зависит от некоторого числа произвольных постоянных. Прежде всего мы имеем постоянные

Между этими постоянными имеется соотношение

Так же, как в п. 205 и последующих, предположим, что

Мы видели, что так всегда можно сделать. Тогда наше соотношение запишется в виде

Это уравнение можно разрешить относительно

Кроме того, выписанных постоянных связаны с соотношением

Кроме у нас имеются

Наконец, у нас есть

Однако, не уменьшая общности, можно предположить, что между этими величинами имеются соотношения (9) и (10) п. 204, или, еще лучше, можно, также не уменьшая общности, предположить, что все величины и равны нулю.

Постоянные связаны с произвольными постоянными а, и определенными соотношениями. Следовательно, если предположить, что и равны нулю, то станут полностью известными функциями

Итак, остается всего произвольных постоянных

ибо связана с остальными некоторым соотношением.

Рассмотрим теперь соотношения

Правые их части зависят от

Разрешив уравнения относительно

получим

Если бы ряды S сходились, то функции и 0 были интегралами дифференциальных уравнений.

Посмотрим, какой вид имели бы эти интегралы.

Прежде всего обратимся к случаю п. 204. Тем самым мы предполагаем, что больше максимума Отсюда следует, что

являются голоморфными функциями от при всех вещественных значениях и при значениях достаточно близких к рассматриваемым.

Мы предполагали ранее, что голоморфна относительно и у, при всех вещественных значениях и при значениях достаточно близких к Кроме того, вторая производная по в общем случае будет отлична от нуля, так что х, будет голоморфной функцией от остальных

Из всего сказанного следует, что производные будут голоморфными функциями при всех вещественных значениях и при значениях

достаточно близких к рассматриваемым.

Итак, пусть

— значения этих постоянных, достаточно близкие к рассматриваемым. Положим

Обе части уравнения (2) будут разлагаться по степеням

и по синусам и косинусам линейных комбинаций

Однако прежде чем применять теорему п. 30 к уравнениям (2), мы должны преобразовать одно из этих уравнений. В самом деле, положим

Тогда первое из уравнений (2) запишется в виде

или, если учесть остальные уравнения (2),

Однако мы знаем, что равны нулю. Это означает, что разности

и, следовательно, разности

делятся на Поэтому я могу записать

откуда

К этому уравнению (4) присоединим остальных уравнений (2). Таким образом, мы снова получим систему, состоящую из уравнений, обе части которых допускают разложение по степеням

и по синусам и косинусам линейных комбинаций у При эта система имеет вид

Следовательно, необходимо доказать, что при

функциональный определитель по не обращается в нуль. Но этот определитель равен производной по или, если

то

Следовательно, он отличен от нуля, и теорема п. 30 применима. Если бы рассматриваемые нами ряды сходились, то наши дифференциальные уравнения имели интегралов и 0, однозначных относительно х и у и периодических относительно у. Однако это невозможно. Следовательно, эти ряды расходятся, что и требовалось доказать.

Тот же результат получается и в случае либрации. Чтобы убедиться в этом, достаточно лишь вспомнить, что в п. 206 мы с помощью замены переменных привели уравнения к тому же виду, что и уравнения п. 134. Следовательно, рассуждая так же, как в главе XIII, мы бы показали, что сходимость рядов влечет за собой существование однозначных интегралов, что противоречит теореме главы

В предельном случае ряды также расходятся, однако доказать это строго я смогу лишь несколько дальше.

Можно спросить, каков механизм того, что члены этих рядов начинают возрастать настолько, что препятствуют сходимости самих рядов.

В том частном случае, когда имеются лишь две степени свободы» малые делители не возникают.

В самом деле, уравнения, подлежащие интегрированию, имеют один из двух видов:

либо

либо

и делители, входящие в не очень малы.

Однако на сходимость может повлиять операция дифференцирования: дифференцирование члена, содержащего косинус и синус аргумента

приводит к появлению в качестве множителя одного из которые могут быть очень большими.

Поэтому сходимости препятствует не наличие малых делителей, возникающих при интегрировании, а большие множители, возникающие при дифференцировании.

Тот же результат можно изложить и по-другому. В случае, рассмотренном в п. 125, при условии, что имеются лишь две степени свободы, существуют малые делители вида

Подставим в них вместо разложения, аналогичные разложениям (2) предыдущего пункта.

Пусть, например,

Наши малые делители запишутся в виде

Выражение

можно разложить по степеням и получить

Ни один из членов этого разложения не содержит в знаменателе малого делителя, ибо никогда не бывает малым.

Отсюда ясно, что каков бы ни был параметр можно найти целые числа такие, что

Следовательно, при таком выборе разложение (5) не будет сходиться. Это объясняет, почему при подстановке (как я делал в предыдущем пункте) вместо средних движений их разложений (2) и последующем упорядочении результата подстановки по степеням мы получаем расходящиеся ряды.

Сказанное только что следует сопоставить с тем, что говорилось в п. 109 и следующих.