Отыскание особых точек

90. Ограничимся случаем движения в плоскости.

Пусть — эксцентрические аномалии, и эксцентриситеты, большие оси, долготы перигелиев. Будем

иметь

Координаты первой планеты по отношению к большой оси ее эллипса и перпендикуляру, проведенному через фокус, будут

Таким образом, это будут вещественная и мнимая части выражения если положить

Если положить также

то координаты второй планеты, отнесенные к тем же осям, что и координаты первой, будут вещественной и мнимой частями выражения

Пусть

пусть

получим

Особые точки функции те же, что у функции поскольку отличается от лишь степенью и точка которая, впрочем, не войдет в рассмотрение, является уже особой точкой

Особыми точками будут те точки, для которых и и и и, следовательно, перестанут быть однозначными функциями от и, следовательно, кроме того, те, для которых

Я полагаю

откуда

Из этого мы получаем

и

Затем получим

полагая для краткости

С другой стороны, будем иметь

Особые точки даются уравнениями

Мы можем переписать эти уравнения, используя переменные тогда эти уравнения станут алгебраическими; в самом деле, два первых запишутся в виде

а два последних, после избавления от знаменателей, в виде

Чтобы найти особые точки , достаточно записать условие совпадения двух особых точек функции .

Но это слияние может произойти двумя способами.

Либо особая точка, определенная одним из четырех уравнений сливается с особой точкой, определенной другим из этих четырех уравнений: таким образом, мы получим особые точки первого рода функции .

Либо две из особых точек, определенных одним из этих четырех уравнений, сливаются в одну. Таким образом, мы получим особые точки второго рода функции .

Чтобы получить точки первого рода, достаточно попарно скомбинировать уравнения (1), (2), (3), (4). Мы видим, что эти точки никак не зависят от целых чисел а и с.

Чтобы получить точки второго рода, надо действовать следующим образом.

Пусть одно из четырех уравнений (1), (2), (3), (4); чтобы выразить совпадение двух особых точек, определенных этим уравнением, достаточно написать

Если мы заменим переменные, выразив и, следовательно, в виде функций от , то получим

так что уравнение можно будет заменить уравнением

или

Левые части уравнений (1) и (2) зависят лишь от и или же от мы их можем не рассматривать; но мы имеем особые точки, которт радотся двумя уравнениями

или двумя уравнениями

Мы имеем

Уравнение может быть, таким образом, заменено следующим:

или

Аналогично уравнение может быть заменено следующим:

Особые точки второго рода, таким образом, даются уравнениями (3) и (5) или же уравнениями (4) и (6); следовательно, в противоположность точкам первого рода они зависят от отношения целых чисел а и с.

Все особые точки находятся поэтому с помощью алгебраических уравнений. Эти алгебраические уравнения упрощаются, если предположить, что Тогда можно предположить и что и, следовательно, что

Уравнение (1) не изменяется, уравнение (2) сводится к и его можно больше не учитывать, уравнения (3) и (4) принимают вид

Уравнения (5) и (6) становятся следующими:

Комбинация уравнений (3) и (5) дает

а комбинация уравнений (4) и (6)

Уравнения (7) и (8) дают значения х, соответствующие точкам второго рода; уравнение (1) дает значения х, соответствующие некоторым точкам первого рода.

Нам остается рассмотреть точки первого рода, определяемые уравнениями (3) и (4), поскольку уравнение (2) становится иллюзорным. Уравнения (3) и (4) записываются в виде

Если они удовлетворяются одновременно, то мы имеем

Но

Таким образом получаем

так что значения х, соответствующие такому роду особых точек, даются двумя уравнениями

Значения х, соответствующие особым точкам, мы будем находить из пяти уравнений (1), (7), (8), (9) и (10). Заметим, что уравнения (1), (9) и (10) возвратны и что уравнения (7) и (8) переходят одно в другое при замене х на . Итак, если х - особая точка, то и Их также будет особой точкой. Это было нетрудно предвидеть.

Если положить то наши уравнения сведутся к следовательно, когда стремится к нулю, корни уравнений (1), (7) и (8) стремятся к нулю или к бесконечности.

Если положить

то уравнения (3) — (8) соответственно принимают вид

С другой стороны, уравнение (1) дает нам решение

Когда очень малы, мы видели, что значения х очень малы или очень велики, и поскольку уравнения не изменяются при замене х на Их, мы должны прийти к выводу, что имеется ровно столько же очень малых значений, сколько и очень больших.

Наши уравнения и соответствующие значения х немного упрощаются, если, предполагая очень малым, пренебречь квадратом этой величины.

Уравнения (1), (9) и (10) тогда дают нам соответственно для х три очень малых значения, приближенно равные

и три очень больших значения — приближенно равные

Уравнение (7) дает два очень малых значения, определенные приближенно уравнением

и одно очень большое значение, равное приближенно

Из уравнения (8) находим два очень больших значения, определяемых уравнением

и одно очень малое, которое записывается в виде

Легко проверить, что корни уравнений (12) и вещественны при . Итак, если сна имеют противоположные знаки, а достаточно мало, то корни уравнений (7) и (8) вещественны.

После того как мы определили таким образом значения х, соответствующие различным особым точкам, остается определить значения

Прежде всего я замечу, что если имеем особую точку, соответствующую некоторым значениям то обратные величины будут соответствовать другой особой точке, которую я назову обратной к первой. В самом деле, наша система уравнений не изменяется при замене х, у, z на и это, впрочем, легко было предвидеть.

Значения х и у будут определяться следующими парами уравнений: (1), (3); (1), (4); (7), (3); (8), (4); (9), (3) или (4); (10), (3) или (4).

Из этих уравнений мы видим, что если очень мало и может рассматриваться как бесконечно малая величина первого порядка, то у очень мало, если х очень мало, и очень велико, если х очень велико.

С другой стороны, мы имеем

Если бесконечно малая величина первого порядка, то х бесконечно малая (или бесконечно большая) того же порядка; то же верно и для у; тогда показатель конечен, следовательно, бесконечно малая (или бесконечно большая) величина порядка а

Среди особых точек я выделю ту, которая определяется равенством (решение уравнения и уравнением (3).

Действительно, для этой точки у и z равны нулю.

Точно так же для точки, обратной предыдущей определяемой равенством (другое решение уравнения и уравнением (4), значения у и z бесконечны.

Поэтому в дальнейшем мы не будем заниматься исследованием этих Увух особых точек.