Вид разложений
140. Итак, существование функции S доказано. Пользуясь такими же рассуждениями, как и в п. 125, отсюда можно вывести следующий результат.
Существуют ряды
расположенные по степеням 
которые формально удовлетворяют уравнениям задачи трех тел. 
константы; кроме того,
Величины 
, у являются периодическими функциями от 
которые помимо прочего зависят и от констант 
С другой стороны, величины 
которые также зависят от постоянных 
можно разлагать по возрастающим степеням 
так что
Я хочу обратить внимание на то, что
Коэффициенты этих рядов можно было бы вычислять очень быстро, не используя все описанные выше замены переменных, но моей задачей было
главным образом строгое доказательство возможности самих разложений.
Еще одно замечание: первоначальные переменные 
можно разложить в ряды того же вида, т. е. в ряды, члены которых являются периодическими функциями от 
Чтобы убедиться в этом, достаточно в формулах, выражающих исходные переменные через новые, заменить эти новые переменные их разложениями (1). Кроме того, мы получаем возможность вычислять коэффициенты разложений исходных переменных непосредственно, не обращаясь к новым переменным, которые служили лишь для доказательства возможности самого разложения.
Я не хочу останавливаться здесь на методах, позволяющих провести непосредственное вычисление коэффициентов. Сказанного в п. 127 достаточно для того, чтобы понять существо дела. Я еще буду иметь случай вернуться к этому вопросу в главе XIV.
Укажу лишь в общих чертах, каким образом можно обойти последнюю замену переменных, с помощью которой совершается переход от 
Именно эта замена переменных, если бы ее нельзя было избежать, представляла собой наиболее трудную часть вычислений.
Необходимость в ней отпадает, если достаточно удобно сгруппировать члены, воспользовавшись малостью эксцентриситетов.
В функции 
можно различить две группы членов.
1. Члены степени 0, 1, 2 или 3 относительно эксцентриситетов и наклонений.
2. Члены, степень которых не меньше 4 относительно эксцентриситетов и наклонений.
Члены второй группы много меньше членов первой группы. Пусть теперь — совокупность членов первой группы, 
совокупность членов второй группы. Мы можем предположить, что 
очень малая константа, а — конечная величина, и записать
Ничто не мешает объединить члены с членами поскольку величина 
гораздо меньше, чем 
или же попытаться разложить их по степеням 
Сохраним переменные
среднее значение F равно
(ср. п. 131) и, следовательно, не зависит от переменных второго ряда. Последняя замена переменных была нужна лишь для того, чтобы сделать 
независимым от переменных второго ряда.
В данном случае она излишня.
