Расходимость рядов

225. В п. 212 мы видели, что ряды, к которым приводит метод Болина, вообще говоря, расходятся. Я пытался выяснить механизм этой расходимости. Сейчас я считаю необходимым вернуться к этому вопросу еще раз и рассмотреть несколько подробней простой пример, который позволит лучше понять этот механизм расходимости. Пусть

где две пары сопряженных переменных, периодическая функция от у (период равен две постоянные, относительно которых я предполагаю, что они очень малы.

Выпишем канонические уравнения

откуда

Если то интегрирование этого уравнения проводится почти сразу же. Запишем уравнение с частными производными Якоби. Пусть

где С — некоторая постоянная. Разложим по степеням

При уравнение (2) будет иметь вид

Как я уже говорил выше, оно почти тотчас же интегрируется. В самом деле, чтобы найти полный интеграл уравнения (3), достаточно положить ( — некоторая постоянная)

В результате мы приходим (с точностью до обозначений) к примеру, рассмотренному в Неравенство отвечает обычному случаю, неравенство случаю либрации, равенство предельному случаю.

Выпишем в явном виде важные частные решения.

Прежде всего упомянем простое решение

это периодическое решение. Посмотрим, какой вид имеют соответствующие асимптотические решения.

Если в положить то получим

откуда

Мы видим, что в этом случае характеристические показатели равны

Вычислим теперь

Приравняв в уравнении (2) коэффициенты при найдем

где постоянную не ограничивая общности, можно считать равной нулю, так что

Таким образом, функция представляет собой вещественную часть функции 2, определяемой уравнением

Полагая

получим

Чтобы проинтегрировать это линейное уравнение, проинтегрируем сначала уравнение без правой части

где

и получим

(К — некоторая постоянная.) Обозначим эллиптический интеграл через

тогда

Такой вид имеет общее решение однородного уравнения. Чтобы проинтегрировать уравнение с правой частью, я буду считать, что К — некоторая функция от у. Тогда

откуда

и, наконец,

Если положить вещественное число), то

Выражения (5) и (6) мы рассмотрим несколько подробней. Прежде всего покажем, как проводятся последовательные приближения.

Имеем

Здесь Ф — известная функция от и у, периодическая по х. Следовательно, ее можно записать в виде

где целое (положительное или отрицательное) число, известная функция от у. Сумма в правой части содержит конечное число слагаемых. Следовательно, если положить

причем будет зависеть только от то функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Это уравнение имеет в точности тот же вид, что и уравнение и решается таким же способом.

Этот метод был использован Гильдеяом, хотя и в довольно отличном по форме виде в его мемуаре, помещенном в т. IX [журнала «Acta mathematica».

Рассмотрим теперь выражения (5) и

Прежде всего остановимся на обычном случае, когда . Функция периодическая по у, будет периодической и по и, причем период (по и) равен вещественному периоду эллиптического интеграла и. Следовательно, можно записать

где X — некоторая вещественная постоянная, зависящая от периода интеграла целое число.

Отсюда следует, что

или

и, наконец, если означают соответственно модуль и аргумент коэффициента то

Очевидно, что каждое слагаемое функции разлагается по степеням Разложение всей функции можно попытаться получить, объединяя те члены в разложениях слагаемых, в которые множитель входит в одинаковой степени. При этом формально мы получаем разложение функции по степеням Пусть

Имеем

Этот результат можно было бы получить и с помощью метода Болина. Пользуясь этим методом, мы разложили бы S по степеням

Функции в свою очередь можно было бы разложить по возрастающим степеням а коэффициент при был бы не чем иным, как

Ряды были бы сходящимися. В самом деле, если, как я предполагаю, функция голоморфна при всех вещественных значениях у, то

где к и две положительные постоянные Отсюда следует, что ряд

сходится абсолютно. Это тем более верно для ряда

С другой стороны, разложение (8) сходится, но разложение (9) может расходиться.

Чтобы уяснить себе это, достаточно рассмотреть весьма простой пример. Положим

тогда

Отсюда следует, что равно нулю, если нечетно, и равно

в противном случае.

Очевидно, что

откуда, например, при

Таким образом, каждый второй член разложения (9) обращается в нуль, а оставшиеся члены превосходят соответствующие члены разложения

что и доказывает расходимость этого разложения.

Сказанное только что о разложении равным образом относится и к разложению и других аналогичных функций.

В случае т. е. в случае либрации, почти все остается без изменений. Единственное отличие состоит в том, что вещественный период интеграла и теперь равен не

а

где означает Следовательно, величина в этом случае должна быть равна не

226. Большой интерес представляет предельный случай, когда В этом случае

Полагая

получим

Например, пусть

Тогда

откуда

Интегрируя по частям, находим

откуда

Функцию можно попытаться разложить, по крайней мере формально, по степеням Однако для этого, может быть, лучше обратиться вновь к общему случаю.

Если у изменяется от 0 до то и изменяется от до зависит от и. Предположим, что эту зависимость можно представить в виде: интеграла Фурье

Я утверждаю, что поскольку при всех вещественных значениях у аналитична и периодическая, то для этого достаточно, чтобы

Если эти условия соблюдены, то

На самом деле эта формула содержит одну произвольную, постоянную ибо пределы интегрирования по и неопределены. Этой постоянной я распоряжусь следующим образом.

Изменив порядок интегрирования и проинтегрировав сначала по и, получим

где произвольная функция от возникающая при интегрировании. Для начала в некоторых случаях мы будем считать эту функцию равной нулю. Тогда

или

или же, если модуль и аргумент функции

где зависят от

Но для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы интеграл был конечен, а для этого подынтегральное выражение не должно обращаться в бесконечность при должно выполняться условие

Поскольку в общем случае это условие не выполняется, формулу (11) можно было бы заменить следующей (эта новая формула соответствует другому выбору произвольной функции

некоторая произвольная постоянная), откуда

Можно рассуждать иначе. В общем случае представляет собой функцию от которая голоморфна, если вещественно или если мнимая часть не очень велика. Пусть, например,

В соответствии с формулой Фурье

Подставляя сюда вместо и и их выражения через получим

Преобразовав этот интеграл так же, как формулу (10), найдем о о

откуда, наконец, получим

Ясно, что функция будет по-прежнему голоморфной, если не будет равно умноженному на нечетное целое число.

Из сказанного следует, что формула

останется верной, если интеграл брать не вдоль вещественной оси, а вдоль некоторой кривой С, целиком расположенной над этой осью, лишь бы расстояние между кривой и осью было достаточно мало, чтобы область, заключенная между вещественной осью и кривой С, не содержала ни одной особой точки функции

Формулы (11) и (12) также будут верными, если фигурирующие в них интегралы брать вдоль указанной кривой С, причем существование этих интегралов не связано с какими-либо ограничениями на ибо, какой бы она ни была, величина, стоящая под знаком интеграла, не будет обращаться в бесконечность вдоль пути интегрирования.

Одно важное свойство функции определенной соотношением (11), видно непосредственно. Под знаком интеграла стоит экспонента Поскольку мнимая часть положительна, если интеграл и веществен, положителен и значение его достаточно велико, модуль этой экспоненты очень мал. Следовательно, при т. е. при функции обращаются в нуль. Путь интегрирования С можно изменить и вместо него брать другой путь С, расположенный под вещественной осью. Расстояние между С и вещественной осью должно быть достаточно малым, чтобы заключенная между ними область не содержала особых точек функции 0.

Интегралы и (12), взятые вдоль приведут к другим значениям и по сравнению с интегралами, взятыми вдоль С. Эти интегралы я обозначу через чтобы отличать их от предыдущих.

Поскольку мнимая часть отрицательна, если интеграл и веществен, отрицателен и значение его достаточно велико, то модуль экспоненты достаточно мал. Следовательно, при т. е. при функции обращаются в нуль.

Можно задать вопрос: совпадают ли функции и Ясно, что в области, заключенной между двумя путями интегрирования , величина, стоящая под знаком интеграла, обладает одной особой точкой, а именно:

Эта особая точка представляет собой полюс. Следовательно, разность между указанными двумя интегралами равна числу умноженному на вычет. Итак,

Обозначив через модуль и аргумент числа получим

Ясно, что не совпадает с за исключением того случая, когда

Попытаемся теперь разложить по степеням При этом получим следующий результат. Пусть

тогда

(интеграл берется вдоль кривой С для и вдоль С для

На этот раз подынтегральное выражение не содержит особых точек в области, заключенной между , из чего следует

Итак, несмотря на то, что функции не совпадают, их формальные разложения по степеням оказываются тождественными. Отсюда следует, что эти разложения не сходятся.

Это доказывает, что если считать параметр бесконечно малой первого порядка, то разность будет бесконечно малой бесконечного порядка такой, как, например,

В самом деле, в частном случае у имеем

откуда следует, что разности являются величинами того же порядка, что и

227. Ниже мы получим эти же результаты еще раз с помощью более простых средств. Пока же я хочу еще раз обратиться к ним, чтобы переход от обычного случая к предельному стал более понятным.

В самом деле, сравним формулы (8) и (12). Ряд в формуле (8) содержит величину поскольку целое число, величина может принимать лишь те значения, которые отстоят друг от друга на Если стремится к нулю, то период интеграла и обращается в бесконечность, и X стремится к нулю. Значения отличаются между собой все меньше и] меньше, и в пределе ряд переходит в интеграл (12).

Монотонно убывая, X проходит через некоторые значения, при которых возникает одно обстоятельство, заслуживающее внимания.

Если число — становится целым, то в формуле (8) знаменатель

обращается в нуль, и формула теряет смысл, так как один из ее членов обращается в бесконечность. Нетрудно видеть, что в этом случае член, обращающийся в бесконечность, следует заменить выражением

Действительно, имеем

Если выражение а не равно нулю, то интеграл в правой части равен

плюс некоторая постоянная, которую можно считать равной нулю. Если же выражение а равно нулю, то интеграл равен и плюс некоторая постоянная, которую также моншо считать равной нулю.

Таким образом, если в вместо члена, обращающегося в бесконечность, подставить выражение (13), то функция не будет обращаться в бесконечность, но перестанет быть периодичной по и.

228. Обратимся вновь к предельному случаю, когда и предположим сначала, что

Формула (10) будет иметь вид

где С — постоянная интегрирования. Первый член разлагается по возрастающим степеням при условии, что меньше 1. Второй член также разлагается по ибо

Интегрируя, получим

Нетрудно видеть, что при функция обращается в нуль. С другой стороны, поскольку вещественная часть а равна нулю, выражение при в нуль не обращается.

Итак, чтобы функция обращалась в нуль при т. е. при необходимо и достаточно, чтобы постоянная С была равна нулю. Следовательно, функция, которую мы в п. 226 обозначали через равна

Поэтому формулу (10) я могу записать в виде

где С — новая постоянная.

Если предположить, что больше 1, и разложить по убывающим степеням то

При первый и второй члены обращаются в нуль. Третий же член в нуль не обращается.

Итак, чтобы функция обращалась в нуль при т. е. при необходимо и достаточно, чтобы постоянная С была равна нулю. Следовательно, функция, которую в п. 226 мы обозначали через равна

Поэтому будут совпадать, если

что, как мы видели выше, не имеет места.

Рассмотрим более общий случай. Предположим, что функция обращается в нуль при Тогда

Функция обращается в нуль при , т. е. при и при т. е. при Пусть сначала мало. Разложим по степеням

откуда

где С — постоянная интегрирования. Чтобы это выражение при обращалось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы постоянная С была равна нулю. Итак, функция из п. 226 равна

Пусть теперь велико. Разложим по убывающим степеням

тогда

где С — постоянная интегрирования. Это выражение обращается в нуль при в том и только том случае, если постоянная С равна нулю. Следовательно, функция из п. 226 равна

Чтобы совпадала с необходимо, чтобы выполнялось условие

которое, вообще говоря, не выполняется.

Разложим теперь выражения (14) и (15) по степеням Тогда

откуда получаем формальное разложение

Точно так же из формулы (15) получим

откуда

В этом виде разложений их тождественность не столь очевидна, как в том виде, который мы получили раньше.

229. Однако перейти от разложений одного вида к разложениям другого вида нетрудно. Действительно,

Я утверждаю, что функция мероморфна по Ее особые точки являются полюсами, расположенными в точках комплексной плоскости где к — целое (положительное или отрицательное) число. Действительно, запишем

Если мнимая часть положительна, то второй интеграл является голоморфной функцией относительно не обладающей никакими особыми точками, ибо при функции обращаются в нуль. В случае первого интеграла дело может обстоять иначе.

Если же мнимая часть отрицательна, то первый интеграл будет голоморфной функцией от , а второй интеграл может и не быть ей.

Итак, рассмотрим особые точки, которые могут быть у второго интеграла, если мнимая часть отрицательна. Предположим, что эта мнимая часть больше Выпишем разложение

Его можно переписать в виде

Если и стремится то произведение будет стремиться к нулю. В этом случае второй интеграл можно записать в виде

где

Только при условии, что мнимая часть меньше — интеграл имеет смысл непосредственно, и лишь с помощью аналитического продолжения можно доопределить его, если указанное условие нарушается. Таким образом получаем, что

Что же касается интеграла то эта функция не имеет особых точек, если мнимая часть больше ибо подынтегральное выражение при обращается в нуль.

Ясно, что второй интеграл является мероморфной функцией от и имеет полюсы в

Ее вычеты в этих точках равны

Точно так же можно было бы усмотреть, что первый интеграл представляет собой мероморфную функцию от с полюсами в

и вычетами

Следовательно, полюсами функции служат точки

с вычетами, равными соответственно

если берется верхний знак и

если берется нижний знак.

Вернемся к формуле (11). Будем предполагать, что интеграл берется вдоль кривой С.

Построим окружность К с центром в начале координат и радиусом где число очень велико. Пусть та часть этой окружности, которая расположена над кривой С, а та часть кривой которая расположена внутри окружности К.

Две дуги образуют замкнутый контур, и интеграл (11), взятый по этому контуру, будет равен умноженному на сумму вычетов, расположенных внутри контура, т. е. сумме первых членов ряда (15).

Можно было бы доказать, что интеграл (11), взятый по стремится к нулю, если стремится к бесконечности. Вычисления можно было бы провести без особого труда, но это излишне, ибо мы заранее знаем, что ряд (15) сходится.

Интеграл, взятый по стремится к следовательно, равна сумме ряда (15).

Итак, мы вновь получаем как разложение (14), так и разложения (16) и

Сказанного достаточно, чтобы понять, каким образом от разложения п. 226 можно перейти к разложениям п. 228.

230. Теперь можно попытаться установить связь между разложениями п. 228 и разложениями главы мы видели, что при уравнения допускают простое периодическое решение

с характеристическими показателями причем им соответствуют асимптотические решения

Третье из этих соотношений можно записать либо в виде

либо в виде

в зависимости от того, берется нижний знак или верхний.

Поскольку характеристические показатели отличны от нуля, из принципов, изложенных в главах III и IV, следует, что при малых значениях в периодическое решение все еще существует. Кроме того, в то время как являются функциями от допускающими разложение по возрастающим степеням обращающимися в нуль при и периодическими с периодом по

Те характеристические показатели, которые равны по абсолютной величине и имеют противоположные знаки (я буду обозначать их , также допускают разложение по возрастающим степеням (ср. главу IV). При характеристический показатель

Аналогично при малых значениях существует два набора асимптотических решений, которые имеют следующий вид. Для первого набора

где ряды, расположенные по степеням коэффициенты которых периодичны по

Для второго набора

где ряды, расположенные по степеням коэффициенты которых периодичны по

Если эти величины рассматривать теперь как функции от то из п. 106 следует, что шесть функций можно разлагать по возрастающим степеням

Если же эти величины рассматривать как функции от то из п. 104 следует, что каждый член разложений шести функций будет иметь коэффициент вида

где некоторый многочлен, разложенный по возрастающим степеням произведение сомножителей вида

где целые (положительные или отрицательные) числа.

Отношение как мы видели в п. 108, можно разложить по степеням , но такое разложение, вообще говоря, носит чисто формальный характер, ибо при характеристические показатели обращаются в нуль.

Преобразуем выражения (17) и Начнем с того, что всюду произведем замену на х. Из соотношения

найдем С:

Если заметить, что при функция будет равна то функцию можно разложить по степеням причем коэффициенты разложения будут периодическими по х.

Подставим в вместо функцию . Тогда и станут функциями от и у и выражение

будет полным дифференциалом Взяв интеграл от этого дифференциала, получим некоторую функцию обладающую следующими свойствами.

1. Ее производные периодичны по х.

2. Сама функция допускает разложение по степеням

3. Каждый член разложения

имеет вид косинуса или сипуса от аргумента, кратного х, умноженного на некоторую степень некоторую степень и на коэффициент вида

где разлагается по степеням и ( произведение множителей вида

4. Выражение разлагается по степеням следовательно, функция S также разлагается по степеням причем в то время как разложение S по степеням сходится, ее разложение по степеням имеет смысл лишь с формальной точки зрения.

Аналогичным образом можно поступить и с выражением При этом мы получим функцию вполне аналогичную S. Единственное отличие состоит в том, что вместо переменных функция S будет разлагаться по степеням

Я утверждаю, что функцию S можно разложить по степеням

Коэффициент представляет собой не что иное, как вещественную часть где имеет вид разложения по степеням т. е. по убывающим степеням переменной, которую в п. 228 я обозначил через

Это разложение и есть разложение (15).

Посмотрим, что произойдет, если выражение подвергнуть такому преобразованию.

Числитель разлагается по степеням С другой стороны, поскольку Р разлагается по степеням то

также будет разлагаться по степеням причем первый член разложения будет равен

Предположим, что в выражении первый член разложения по степеням равен а произведение П сводится к единственному множителю

В этом случае первый член разложения равен

Отсюда видно, что в разложении (15) имеется коэффициент

Функция S также разлагается по степеням

Здесь коэффициент равен вещественной части функции где означает некоторое разложение по степеням Это разложение совпадает с разложением (14).

231. Функции имеют вид некоторых разложений. S разлагается по степеням Это разложение сходится лить при условии, что у достаточно близко к разлагается по степеням Это разложение сходится лишь при условии, если у достаточно мало. Однако с помощью аналитического продолжения функции можно определить при произвольных значениях у. Эти функции можно «продолжить» так, чтобы они обе были определены при значениях у, заключенных между (величины сами заключены между

Можно задать вопрос: совпадают ли функции в области совместного определения? Ответ должен быть отрицательным. Действительно, если бы выполнялось тождество

то члены сходящихся разложений для по степеням должны были совпадать. В частности, должно было бы выполняться равенство

и, следовательно,

Но ранее мы видели, что

Поэтому функция S не совпадает с S. Отсюда можно вывести важное заключение. Мы знаем, что формально разлагаются по степеням :

Эти разложения можно получить либо с помощью методов пунктов 207—210, либо если взять за исходные решения (17) и разложить их по степеням (ср. п. 108) и преобразовать затем так же, как в п. 230.

При у, мало отличающемся от функция разлагается по степеням При у, мало отличающемся от нуля, функция разлагается по степеням Это свойство характерно. В самом деле, функция S является единственной функцией, допускающей разложение по степеням и удовлетворяющей уравнению (2). Точно так же функция S является единственной функцией, допускающей разложение по степеням и удовлетворяющей уравнению (2).

С другой стороны, из пунктов 207—210 вытекает, что Г, можно представить в виде рядов, расположенных по синусам и косинусам аргументов, кратных у 12. Следовательно, эти функции разлагаются при у, мало отличающемся от по степеням а при у, достаточно мало отличающемся от нуля, по степеням

Следовательно,

Поэтому если бы разложения (18) сходились, то выполнялось бы равенство

Итак, разложения (18) расходятся. Отсюда следует, что разложения п. 108, откуда они получаются, расходятся тем более (ср. п. 109, стр. 299, п. 212, стр. 671).

232. Ранее я предполагал, что при обращается в нуль. Это ограничение несущественно. Если бы было отлично от нуля и равнялось, например, то к разложениям (14) и (15) достаточно было бы добавить член

и ту же константу следовало бы прибавить к интегралам (11), определяющим

Я достаточно подробно остановился на этом примере, который не только позволил мне доказать расходимость рядов пунктов 108 и 207, но и обладал некоторыми другими преимуществами.

Во-первых, с помощью этого примера мы смогли уяснить суть перехода от разложений, аналогичных разложениям п. 225, к разложениям, аналогичным разложениям п. 104, перехода, при котором используются ряды пунктов 226 и 228.

Во-вторых, особенности, на наличие которых я указывал выше, служат первым указанием на существование периодических решений второго рода и двоякоасимптотических, к которым я намереваюсь вернуться несколько позже.