Глава VI. ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Формулировка задачи

90. Как я уже говорил, Фламм дал замечательное приближеиное выражение членов высокого порядка возмущающей функции. Ему удалось это сделать с помощью метода Дарбу, позволяющего найти коэффициенты высокого порядка ряда Фурье или же ряда Тейлора, если известны аналитические свойства функции, представленной этими рядами.

Но метод Дарбу применим только к функциям одной переменной, и то время как возмущающая функция должна быть разложена по синусам и косинусам углов, кратных двум средним аномалиям. Вот к какой уловке прибегнул Фламм: он получил сначала обычным способом первое разложение возмущающей функции, члены которого имеют вид

где радиус-вектор первой планеты; истинная аномалия; и — эксцентрическая аномалия; и и — аналогичные величины, соответствующие второй планете.

Тогда два множителя зависят только от одной переменной, а именно: первый — от средней аномалии первой планеты, второй — от другой средней аномалии ?. Фламм применил к каждому из этих двух сомножителей метод Дарбу.

Этот прием недостаточен для наших целей; нам необходимо, напротив, применять метод Дарбу непосредственно к возмущающей функции и для этого распространить этот метод на случай функций двух переменных [25].

91. Функцию, которую надо разложить, мы обозначили через я напомню ее выражение, приняв снова обозначения . Мы имеем

Определенная таким образом функция зависит от переменных (4) из п. 11, от и от Если мы предположим, что известные функции параметра и разлагаются в ряд по возрастающим степеням этого параметра, то будет зависеть лишь от переменных (4) и от и будет разлагаться в ряд по возрастающим степеням

Здесь возможно бесконечное число вариантов; мы предположим, например, что есть постоянные, не зависящие от

Переменные (4) являются кеплеровскими переменными, соответствующими двум оскулирующим орбитам, определенным в п. 11. Радиус-вектор первой оскулирующей орбиты есть радиус-вектор второй орбиты есть Угол между этими двумя радиусами-векторами (который является не чем иным, как разностью двух истинных долгот двух оскулирующих орбит, если эти орбиты находятся в одной плоскости) — это угол который я буду обозначать через

Величины и А В зависят только от переменных (4) и не зависят от Напротив, и зависят не только от переменных (4), но еще и от Следовательно, мы можем попытаться разложить и по степеням х. Таким образом, мы найдем

Тогда если положить

то получим

Рассмотрим последовательно различные члены возмущающей функции

Прежде всего первый член

зависит только от средней аномалии I и не зависит от средней аномалии следовательно, в разложении не будет членов с или где .

Также второй член

не сможет дать в разложении членов с или где

Следовательно, вообще мы сможем отбросить эти два члена. Последний член

может быть представлен в другой форме.

Если я обозначу через наклонение орбит, а через истинные долготы, отсчитанные от линии узлов, то получим

откуда

Метод Фламма непосредственно применим к четырем множителям

Остается, таким образом, разложить третий член

который известен под названием главной части возмущающей функции. Разложением этой главной части мы сейчас и займемся.