Глава XIV. ПРЯМОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЯДОВ

151. По-видимому, было бы небезынтересно еще раз обратиться к результатам, полученным в трех предыдущих главах, с тем, чтобы лучше уяснить их смысл. Прежде всего я хочу продемонстрировать способ прямого вычисления коэффициентов разложений, полученных нами ранее косвенным путем (существование разложений, о которых идет речь, нами уже доказано). Действительно, коль скоро существование этих разложений установлено, вычисление их коэффициентов можно производить гораздо быстрее, не прибегая к многочисленным заменам переменных, которые были необходимы ранее.

Я начну с рассмотрения частного случая уравнений из п. 134.

В этом пункте мы показали, что нашим каноническим уравнениям формально можно удовлетворить с помощью методов, аналогичных методам п. 125, если последние незначительно модифицировать. Положим

Здесь — периодические функции величин, которые я обозначу за исключением функций которые должны быть просто равны произвольные постоянные, от которых зависят остальные функции , а

где — постоянная интегрирования, некоторая константа, зависящая от и допускающая разложение по степеням

Пользуясь методами п. 126, эти ряды можно записать бесконечно многими способами, причем так, что средние значения периодических функций будут наперед заданными произвольными функциями от

Прежде чем приступать к преобразованию этих рядов с помощью методов п. 126, заметим, что выражение (рассматриваемое как функция от в то время как по-прежнему считаются постоянными) должно быть полным дифференциалом.

Пусть, кроме того,

Предположим, что имеется попарно сопряженных переменных. Пусть имеется два рода переменных, относящихся к первому ряду. Переменные первого рода мы будем обозначать а переменные второго рода

Переменные второго ряда, сопряженные с будем обозначать а сопряженные с будем обозначать Наши канонические уравнения запишутся в виде

Я предполагаю, что зависит от но не зависит от функция периодическая по если обозначить среднее значение через пока рассматривается как периодическая функция только от но не от то не зависит от а только от и Это в точности те же предположения, что и в п. 134.

Мы видели, что уравнениям (1) можно формально удовлетворить рядами следующего вида:

Величины представляют собой периодические функции от зависящие, кроме того, от постоянных и такие, что их средние значения могут быть произвольно заданными функциями этих констант, что можно было бы усмотреть с помощью рассуждения, аналогичного приводимому в п. 126. Кроме того,

где постоянные интегрирования, ащжпь разлагаются по степеням так что

причем

Возможность аналогичных разложений была установлена в п. 134. Теперь же я намереваюсь развить прямой метод вычисления коэффициентов.

Для этого я предположу, что мы уже подставили в уравнения (1) разложения (2) и что, следовательно, наши переменные не зависят от времени непосредственно, а лишь через Уравнения (1) запишутся тогда в виде

Кроме того, после подстановки разложений (2) получим уравнения Ьтгк

аналогичные уравнениям (9) и (10) п. 127, а также

Величины зависят а также от величин которые обозначены теми же буквами, но со штрихами. Они периодически зависят от

Рассмотрим так же, как и в п. 127, от каких переменных зависят все эти величины. Поскольку

ясно, что зависят только от

и от величин, обозначаемых теми же буквами, но со штрихами, в то время как У зависят, кроме того, от но не зависят от Рассмотрим выражение

Подставим в него вместо разложения (2), а вместо их разложения степеням После этих подстановок получим разложение по степеням Чтобы воспользоваться обозначениями, аналогичными обозначениям

п. 127, я запишу получившееся разложение в следующем виде:

Условимся считать, что знак означает суммирование по всем значениям к и всем значениям от 0 до бесконечности, а знак — суммирование по всем к и от 1 до бесконечности.

Следует помнить, что и что к уравнениям (4) надлежит присоединить еще два других уравнения того же вида, в которых вместо символов фигурируют те же символы, но со штрихами.

Точно так же мы запишем

Условимся, что здесь суммирование, обозначаемое символом 2, распространяется по всем значениям от 1 до бесконечности, а суммирование, обозначаемое символом , производится по всем значениям от 2 до бесконечности. К уравнению (5) присоединим еще три других уравнения, в которых вместо

фигурируют соответственно

либо

либо

Мы получим цепочку уравнений, аналогичных уравнениям (14) п. 127, которые, если учесть, что константы, а равны и за пишутся в виде

При левая часть каждого из уравнений (6) должна обращаться в нуль; кроме того, второе слагаемое в левой части должно обращаться в нуль при Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить смысл, который мы придали символам в уравнениях (4) и (5).

Пусть теперь произвольная периодическая функция от Условимся обозначать символом среднее значение функции рассматриваемой временно как периодическая функция только от Из этого определения следует

Символом мы будем обозначать среднее значение рассматриваемой как периодическая функция от одновременно. Это среднее значение представляет собой константу, не зависящую от в то время как не зависящее от все еще остается периодической функцией, от Переходя после этого в уравнениях (6) к средним значениям, получим

При правые части этих уравнений должны обращаться в нуль.

Посмотрим, каким образом можно исходя из уравнений (6) и (7) вычислить коэффициенты разложений (2).

Сначала в уравнениях (6) положим Тогда (поскольку величины

равны нулю, а левые части уравнений (6), как я уже говорил выше, должны быть равны нулю)

Из этих уравнений мы получим значения которые, впрочем, нам известны, и установим, что равны нулю, поскольку равны нулю.

Рассмотрим теперь уравнения (7), в которых положим . Приняв во внимание, что равны нулю, получим

Чтобы понять, что означают эти уравнения, следует рассмотреть вопрос о том, что означают величины Чтобы найти необходимо в производных

заменить и на

Пусть означает результат указанной подстановки в Тогда

где означает результат той же подстановки в функцию

Поэтому

В силу сделанных нами предположений функция не зависит от , следовательно, не зависит отюи

Итак, равны нулю, а зависит лишь от ихош, следовательно, является константой.

Итак, из четырех уравнений (8) первые два удовлетворяются автоматически. Четвертое же из этих уравнений позволяет найти поскольку его левая часть представляет собой константу.

Далее мы получаем

(напомним, что означает результат подстановки вместо откуда

Величины должны быть константами, то же относится и к производным Следовательно, также константы.

Действительно, чтобы получить хнеобходимо произвести в замену у и у на Если же ппоизвести такую подстановку в (что приведет к тому же результату), то

Но

где функция периодическая по у, у, а константы. Поэтому

откуда

что и требовалось доказать.

Рассмотрим левые части уравнений (7) и положим в них Если константы, то

Из определений следует, что

Поэтому

К этому выводу, который мы получили исходя из возможности разложений, доказанной в предыдущих главах, можно прийти и непосредственно.

В самом деле,

Разумеется, я предполагаю, что в и переменные заменены на

Ясно, что среднее значение производной равно нулю. Следовательно, мне осталось еще показать, что алгебраическая сумма средних значений четырех первых слагаемых в правой части уравнения (10) равна нулю.

Предположим, что выражения

разложены в тригонометрические ряды по синусам и косинусам дуг, кратных Тогда окажется разложенным в некоторый ряд того же вида и речь будет идти о вычислении тех членов этого ряда, которые не зависят от

Для этого достаточно вычислить члены, не зависящие от в произведении

и во всех других аналогичных произведениях.

Члены этого произведения, равные константе, получают, рассматривая член производной

зависящий от

(если предположить, что число переменных равно ) или от

и член разложения зависящий от такого же косинуса или такого же синуса.

Заметим прежде всего, что случай

не доставит нам особого беспокойства.

В самом деле,

представляет собой производную по от некоторой периодической по функции и не может содержать членов, не зависящих от Это обстоятельство отнюдь не маловажно. Действительно, из него следует, что нам не нужно вычислять

(Уравнения (6) позволяют найти с точностью до произвольной функции от но не дают возможности найти средние значения этих функций. К счастью, как мы только что видели, эти средние значения не понадобятся.)

Итак, пусть

— некоторый набор целых чисел (положительных или отрицательных), из которых не все равны нулю. Введем обозначение

В двух сомножителях, из которых состоит каждое слагаемое правой части уравнения (10), отыщем члены, содержащие и Именно они, как мы видели, и дадут те члены в разложении которые не зависят от

Итак, пусть

— члены в разложении зависящие от Очевидно, что есть функции

Соответствующими членами будут

(символами и с мы для краткости обозначили и

Положим теперь в уравнениях Тогда

Кроме того, у нас имеются еще и другие уравнения, в которых (но не заменены теми же символами, но со штрихами. Следовательно, если обозначить

то члены, содержащие примут вид

Если подставить их в правую часть уравнения (10), средние значения этих членов обратятся в нуль. Следовательно, как мы уже видели ранее,

Зная это и полагая в уравнениях (6) , можно без труда вычислить

с точностью до произвольной функции от

Итак, нам известны и

Кроме того, мы знаем, что константа, т. е. представляет собой некоторую функцию от В силу сделанного ранее замечания, аналогичного приведенному в конце п. 126, известно, что эту функцию можно выбирать произвольным образом. Итак, можно считать полностью известной.

Затем находим

Для этого используем уравнения (7), положив в них

Эти уравнения, если учесть, что

можно записать в виде

Выражение для мы нашли раньше [уравнение (10)]. Для того чтобы получить из него выражение для X, достаточно заменить на а для того чтобы получить достаточно заменить на

Таким образом, в будут, например, члены следующего вида:

Мы найдем

Но по предположению зависит лишь от Следовательно, производные от Л по равны нулю. Отсюда приходим к следующему выводу.

Члены (12), входящие в правую часть первого из уравнений (11), зависят лишь от величин

которые известны, и не зависят от величин которые неизвестны. Таким образом, представляет собой некоторую известную функцию от Следовательно, зная эту функцию, мы можем получить значение величины при условии, однако, что

Это условие должно выполняться автоматически, поскольку мы заранее знаем, что рассматриваемое разложение возможно.

По той же самой причине также представляет собой известную функцию. В самом деле, теперь уже известны но еще не известны ни ни Но члены разложения зависящие от можно записать в виде

а поскольку не зависит ни от ни от эти члены равны нулю и второе из уравнений , присоединенное к уравнению

позволяет получить

Найдя таким образом из (7,3,2) и (7,4,2), что служит обозначением третьего и четвертого из уравнений (7), в которых положено перейдем к отысканию

Проще всего воспользоваться тем, что выражение

должно быть полным дифференциалом.

Если в это выражение подставить вместо соответствующие разложения (2), то коэффициент при любой степени должен быть полным дифференциалом. Следовательно, выражения

должны быть полными дифференциалами. Знак S следует понимать в том смысле, что суммирование должно проводиться по всем индексам и, кроме того, по всем штрихованным переменным.

Например, если имеется переменных без штрихов и А переменных со штрихами, то

С другой стороны, так как константы, выражение

всегда представляет собой полный дифференциал, так что мы можем записать

Кроме того, должны быть такими функциями от и чтобы их производные были периодическими.

Посмотрим, как можно получить из уравнения

Имеем

Но поскольку производные от функции должны быть периодичны,

и

В уравнении (14) все члены, за исключением известны. Действительно, мы знаем и, точно так же, ибо нам известна разность Что же касается постоянной, стоящей в правой части уравнения (14), то сделанное выше замечание показывает, что ее можно выбирать произвольно.

Итак, мы в состоянии вычислить

Вычислим теперь с помощью уравнения (7,2,2). Это уравнение можно записать в виде

откуда, приравнивая средние значения относительно найдем

Но зависит лишь от Величины, полностью известны. Что же касается то мы знаем лишь Рассмотрим, каким образом зависит от Эта функция имеет вид

где А полностью известно.

Отсюда

Поскольку не зависит от а производные равны нулю, полностью известно и мы получаем возможность найти из уравнений (16) и (15).

Затем последовательно найдем из уравнений (6,1,2), из уравнений (6,3,2), из уравнений (6,4,2), из уравнений (6,2,2), из уравнений (7,3,3), из уравнений (7,4,3), из уравнения (14,3), т. е. из уравнения, которое таким же образом выводится из третьего уравнения, входящего в систему (13), как уравнение (14) было выведено несколько раньше из второго уравнения, входящего в систему (13), из (7,2,3), затем

Если придерживаться этого порядка в вычислениях, то их можно продолжать неограниченно, ибо с каждым новым уравнением добавляется лишь одно новое неизвестное.

Напомню, что средние значения

можно выбирать в виде произвольных функций от

Для того чтобы интегрирование указанных уравнений было возможно, должны выполняться определенные условия. Однако мы знаем, что эти условия выполняются (хотя доказать это непосредственно, несомненно, нелегко), ибо нам заранее известно, что соответствующее разложение возможно.