Случай, когда гессиан равен нулю

43. Может возникнуть трудность в случае, когда гессиан функции равен нулю.

Вот как в довольно большом числе случаев можно избежать этой трудности.

Предположим, что гесиан по переменным х равен нулю, по можно найти функцию от которую будем называть и гессиан которой не равен нулю.

Мы преобразуем уравнения (1) следующим образом.

Эти уравнения имеют интеграл живых сил, который записывается в виде

Пусть производная функции тогда при будем иметь

будет постоянной, которую можно считать известной, если предположить, что начальные условия движения известны и позволяют, следовательно, вычислить постоянную С.

Уравнения (1) можно тогда записать как

Они сохраняют прежнюю форму, но функция заменена функцией гессиан которой не равен нулю.

Возьмем, например, частный случай задачи трех тел, изученный в п. 9, тот случай, когда одна из масс равна нулю, а две другие движутся по окружности.

В этом случае мы нашли

следовательно, имеем

Наш гессиан, таким образом, тождественно равен нулю, но если мы возьмем

то гессиан равен

и отличен от нуля.

Таким образом, все предыдущие рассуждения применимы к этому частному случаю задачи трех тел, в котором имеются периодические решения при малых значениях

Рассмотрим, напротив, общий случай задачи трех тел, о котором шла речь в п. 11.

Мы нашли, что эта задача может быть приведена к канонической форме, причем два ряда переменных будут следующими:

Функция может быть разложена в ряд по степеням

и мы имеем

Если, возвращаясь к обозначениям, использованным в этой главе, мы обозначим два ряда сопряженных переменных через

так что

то получим

и гессиан функции очевидно, равен нулю.

Если мы рассмотрим некоторую функцию то эта функция будет зависеть только от и ее гессиан будет снова равен нулю. Таким образом прием, который мы употребили выше, более не применим и рассуждений настоящего пункта недостаточно, чтобы установить существование периодических решений.

В этом источник трудностей, которые мы попытаемся преодолеть в пп. 46—48.

Эти трудности происходят также, как мы только что видели, от того, что зависит лишь от т. е. от того, что мы имеем

или еще при

Эти уравнения означают, что в кеплеровском движении перигелии и узлы неподвижны.

Однако при любом другом законе притяжения, отличном от закона Ньютона, перигелии и узлы не были бы неподвижными.

Следовательно, при законе, отличном от ньютоновского, мы не встретили бы при отыскании периодических решений задачи трех тел той трудности, на которую я только что указал и которой в дальнейшем будут посвящены пп. 46—48.