Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Уравнение эвекции191. Применим изложенные выше соображения к интегрированию уравнения
методом последовательных приближений. Коэффициент а очень мал,
где Уравнение (1) можно записать так:
Постоянные В качестве первого приближения я возьму
и получу при этом уравнение того же вида, что и уравнение (1) предыдущего пункта, с помощью которого найду первое приближенное значение х. Я буду обозначать его через соответствующее значение Функция В качестве второго приближения следует взять
Если бы Следовательно,
не содержало вековых членов. Необходимые и достаточные условия этого нам известны. Пусть
Необходимо, чтобы разложения и Рассмотрим далее уравнение
Пусть Заметим теперь, что содержит члены двух родов. Члены первого рода зависят от синуса и косинуса аргумента
члены второго рода зависят от синуса и косинуса аргумента
Пусть Может показаться, что естественно рассматривать уравнение
которое получается, если в уравнении (2) положить
Вместо этого мы рассмотрим следующее уравнение
Действительно, от и
мало отличаются от свободных членов произведений
которые равны нулю, следовательно, свободные члены первых двух произведений очень малы. Поэтому в рассматриваемом решении уравнения (3) вековые члены малы и ими можно пренебречь. В силу сказанного я обозначу через
Величины
были равны нулю. После этого запишем уравнение
Пусть Пусть Рассмотрим уравнение
Пусть Действительно, нетрудно видеть, что вековые члены имеют тот же порядок малости, что и члены, отбрасываемые в третьем приближении. Определив таким образом Необходимо сделать еще несколько замечаний. Чтобы написать уравнение (3), мы произвели в и замену Если не производить указанных замен, это привело бы к излишне большому числу аргументов и, следовательно, к значительным трудностям. На первый взгляд кажется, что мы могли бы полностью избавиться от вековых членов и не производя этой замены. Действительно, функция содержала бы члены с аргументом
Такое мнение ошибочно, ибо когда разность — Кроме того, может показаться, что успех метода связан со следующим обстоятельством. В каждом приближении должны выполняться два условия, поскольку мы должны обратить в нуль свободные члены
и в нашем распоряжении имеется ровно две произвольные постоянные Можно было бы подумать, что Гильден именно для того и ввел в левую часть уравнения член
несмотря на малость коэффициента Такое мнение ошибочно. В самом деле, принципы, изложенные в главе IX, показывают, что если бы и у были равны нулю, то последовательные приближения можно было вычислять так, чтобы не появлялись никакие вековые члены. Правда, мы должны были удовлетворить двум условиям. Но если бы единственный произвольный коэффициент мы выбрали так, чтобы удовлетворить первому условию, второе условие, как мы видели в п. 127, выполнялось бы автоматически. Сказанное станет понятней, если изложенному здесь методу последовательных приближений придать следующий вид. 192. Пусть
где (страница пропущена) Точно так же уравнение
(напомним, что
Уравнение
коэффициенты Другое решение получим, положив
Следовательно, если положить
и если
Только это решение и будет периодическим по Перейдем к уравнению
Как интегрировать уравнение
Определитель Применим теперь метод вариации постоянных, Если через найти из уравнений
Если для краткости обозначить
то уравнение (8) можно заменить двумя следующими:
откуда
Уравнения (9) легко интегрируются. Возьмем, например, второе из этих уравнений. Ф? можно разложить в ряд вида
здесь Из уравнения
найдем
где Если мы хотим, чтобы величина у разлагалась в тригонометрический ряд вида (10), то необходимо: 1) чтобы функция была равна нулю (так как я не предполагал, что существует соотношение вида 2) чтобы Следовательно, чтобы решить нашу задачу, необходимо удовлетворить двум условиям: свободный член Выберем Чтобы найти Итак, либо задача не имеет решения, либо наши условия должны выполняться автоматически. 193. Чтобы доказать, что эти условия на самом деле выполняются автоматически, мне следует показать, что решение задачи всегда возможно. Мы уже встречались с подобной ситуацией: метод п. 127 нельзя было бы считать обоснованным, если бы в п. 125 заранее не была доказана возможность соответствующего разложения. Рассмотрим систему канонических уравнений
Я предполагаю, что
но я не предполагаю более, как в п. 125, что Функция
известен, а решения удовлетворяют следующим условиям. 1. Переменные
2. В свою очередь эти
— постоянные, зависящие от 3. Величины 4. Выражение
представляет собой полный дифференциал. Очевидно, что
т. е. функция Произведем замену переменных и перейдем от одной системы сопряженных переменных
было полным дифференциалом. Отсюда следует, что если в рассматриваемом случае в качестве новых переменных принять
Очевидно, что: 1) функция 2) в силу соотношения (3) функция Величины
Коэффициенты
где Коэффициенты Эти разложения
Переменные
Здесь коэффициенты 194. Применим эти принципы к уравнению (1) п. 191, которое запишем под новым номером
Попытаемся привести это уравнение к каноническому виду. Пусть — функция от
так же, как и
с целыми коэффициентами. Для симметрии обозначений положим
Кроме того, пусть
(мы предполагаем, что в Введем
и положим
Уравнение (6) можно заменить системой канонических уравнений
Далее, если положить (ср. п. 181)
то выражение
будет полным дифференциалом. Следовательно, если в качестве переменных выбрать Кроме того, функция
Малый параметр а играет здесь роль параметра Если положить
Можно найти функцию
С точностью до некоторых различий в обозначениях это уравнение совпадает с уравнением п. 181. В п. 181 мы видели, что если Отсюда следует, что уравнениям
можно удовлетворить, полагая так же, как в п. 3,
и, кроме того,
где и — две постоянные, причем вторая из них произвольна. При
Аналогично
Что же касается переменной
так что коэффициент К представляет собой не что иное, как взятое с обратным знаком число Функцию Замечу только, что в силу самого определения новых переменных
и, следовательно, выражение
будут полными дифференциалами. Кроме того,
Следовательно, если в качестве новых переменных принять
Кроме того, функция
зависит лишь от Итак, мы находимся в условиях пунктов 125 и 127 и можем заключить, что и
где Кроме того, нетрудно видеть, что в рассматриваемом нами частном случае при к
Чтобы удовлетворить не только уравнениям (7), но и уравнениям (6), из которых они получены, необходимо положить
Из всего сказанного следует, что задача, сформулированная в предыдущем пункте, всегда имеет решение и, следовательно, те условия, о которых там говорилось в самом конце, выполняются автоматически. 195. Наши выводы остаются в силе при любых значениях Если обратиться к предыдущей главе, то видно, что коэффициенты Итак, записав уравнение предыдущей главы в виде
мы могли бы применить к нему методы п. 127, считая, что роль параметра Рассмотрим теперь уравнение
Пусть произвольный член разложения
где Остается случай В силу только что сказанного к уравнению
можно применить методы п. 127. Если роль параметра Из этого вытекает, что, разложив
Следовательно, функция
будет принимать очень большие значения, если Поэтому, как только что указывалось, решение уравнения (2) будет большим, а сходимость его медленной, если Следовательно, если в правой части уравнения (1) имеется член, содержащий х в первой степени, и если его аргумент Посмотрим, встречается ли этот случай в приложении метода Гильдена к задаче трех тел. Рассмотрим снова уравнение
Члены функции В имеют тот же порядок величины, что и возмущающие силы. Они зависят от
Что же касается X, то эта величина будет равна
где Выделим в В два следующих члена:
и положим
Член
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1). Чтобы понять, следует ли переносить в левую часть член
а параметр а имеет тот же порядок, что и возмущающая функция. Следовательно, перенеся Рассмотрим теперь наш вопрос несколько подробнее. Трудность состоит в том, что коэффициент при Действительно, если возмущающие массы равны нулю, то движение становится кеплеровским, и уравнения принимают вид
Если бы возмущающие массы были все время равны нулю, а обе планеты притягивались бы центральным телом, по закону притяжения отличному от вакона Ньютона, то выписанные выше уравнения приняли бы вид
где Далее так же, как в п. 169, положим
где
Здесь Например, если бы Итак, если закон притяжения отличен от закона Ньютона, то трудность, из-за которой член с Это связано со следующим обстоятельством. Если закон притяжения ньютоновский и предполагается, что возмущающие массы всегда равны нулю, то перигелии будут неподвижны, что неверно, если закон притяжения отличается от закона Ньютона. Именно на это я уже указывал в начале главы XI. Итак, трудность, побудившая Гильдена перенести член, содержащий
|
1 |
Оглавление
|