Уравнение эвекции

191. Применим изложенные выше соображения к интегрированию уравнения

методом последовательных приближений. Коэффициент а очень мал, известная функция от все члены которой имеют вид

где целое число, некоторые постоянные.

Уравнение (1) можно записать так:

Постоянные и у очень малы. Их значение, изменяющееся в зависимости от рассматриваемого приближения, будет найдено ниже.

В качестве первого приближения я возьму

и получу при этом уравнение того же вида, что и уравнение (1) предыдущего пункта, с помощью которого найду первое приближенное значение х. Я буду обозначать его через соответствующее значение я буду обозначать через

Функция сохраняет тригонометрический вид и не содержит векового члена, поскольку, вообще говоря, разности не будут целыми числами.

В качестве второго приближения следует взять

Если бы и у были по-прежнему равны нулю, то разложения содержали бы свободные члены, и время, как мы видели выше, входило не только под знаком тригонометрических функций.

Следовательно, должны иметь какие-то другие значения которые мы выберем так, чтобы общее решение уравнения

не содержало вековых членов. Необходимые и достаточные условия этого нам известны. Пусть два независимых решения уравнения

Необходимо, чтобы разложения и не содержали свободных членов. Ясно, что всегда можно подобрать так, чтобы это условие выполнялось.

Рассмотрим далее уравнение

Пусть два решения этого уравнения, соответствующее значение числа Решения будут разлагаться по косинусам и синусам аргумента где целое число.

Заметим теперь, что содержит члены двух родов. Члены первого рода зависят от синуса и косинуса аргумента

члены второго рода зависят от синуса и косинуса аргумента

один из аргументов, от которых зависит

Пусть означает функцию, в которую переходит если заменить на в членах первого рода; означает функцию, в которую переходит если заменить на

Может показаться, что естественно рассматривать уравнение

которое получается, если в уравнении (2) положить а в правой его части, кроме того, положить

Вместо этого мы рассмотрим следующее уравнение

Действительно, очень мало отличается от так что разность по порядку малости совпадает с отбрасываемыми членами. Рассмотрим какое-нибудь решение уравнения (3). Поскольку мало отличаются

от и мало отличается от свободные члены произведений

мало отличаются от свободных членов произведений

которые равны нулю, следовательно, свободные члены первых двух произведений очень малы. Поэтому в рассматриваемом решении уравнения (3) вековые члены малы и ими можно пренебречь. В силу сказанного я обозначу через не само решение уравнения (3), а это решение с вычеркнутыми вековыми членами. Тогда

Величины зададим так, чтобы свободные члены произведений

были равны нулю.

После этого запишем уравнение

Пусть два решения этого уравнения, соответствующее значение

Пусть означает в котором заменено на иначе говоря, получается из так же, как из Пусть означает функцию, в которую перейдет если заменить на

Рассмотрим уравнение

Пусть означает решение этого уравнения с вычеркнутыми вековыми членами (иными словами, получается из решения уравнения (4) так же, как — из решения уравнения

Действительно, нетрудно видеть, что вековые члены имеют тот же порядок малости, что и члены, отбрасываемые в третьем приближении.

Определив таким образом дальнейшие приближения строят по тем же правилам.

Необходимо сделать еще несколько замечаний.

Чтобы написать уравнение (3), мы произвели в и замену на т. е. и заменили на и Аналогичным образом мы будем поступать и в последующих приближениях.

Если не производить указанных замен, это привело бы к излишне большому числу аргументов и, следовательно, к значительным трудностям.

На первый взгляд кажется, что мы могли бы полностью избавиться от вековых членов и не производя этой замены. Действительно, функция содержала бы члены с аргументом функции и члены с аргументом так что произведения вообще не содержали бы свободных членов, а только члены

Такое мнение ошибочно, ибо когда разность — становится очень малой, период таких членов становится очень большим. При интегрировании появляются малые делители, и сходимость приближений становится сомнительной.

Кроме того, может показаться, что успех метода связан со следующим обстоятельством. В каждом приближении должны выполняться два условия, поскольку мы должны обратить в нуль свободные члены

и в нашем распоряжении имеется ровно две произвольные постоянные

Можно было бы подумать, что Гильден именно для того и ввел в левую часть уравнения член

несмотря на малость коэффициента что ему просто хотелось получить в левой части два члена и иметь два произвольных коэффициента.

Такое мнение ошибочно.

В самом деле, принципы, изложенные в главе IX, показывают, что если бы и у были равны нулю, то последовательные приближения можно было вычислять так, чтобы не появлялись никакие вековые члены. Правда, мы должны были удовлетворить двум условиям. Но если бы единственный произвольный коэффициент мы выбрали так, чтобы удовлетворить первому условию, второе условие, как мы видели в п. 127, выполнялось бы автоматически.

Сказанное станет понятней, если изложенному здесь методу последовательных приближений придать следующий вид.

192. Пусть значение х, полученноз в приближении с помощью метода п. 191, представляет собой сумму членов, зависящих от синуса или косинуса углов

где целые числа; — приближенное значение аргументы различных членов

(страница пропущена)

Точно так же уравнение запишется в виде

(напомним, что были найдены ранее с помощью уравнения Вообще уравнение запишется в виде

Уравнение легко интегрируется. В самом деле, его можно свести к уравнению (1) п. 190, подробно рассмотренному в предыдущей главе. Одно решение можно взять в виде

коэффициенты те же, что и в п. 178, - величина, которую в главе XVII мы обозначали через

Другое решение получим, положив

Следовательно, если положить

и если и у — произвольные постоянные, то общее решение получим в виде

Только это решение и будет периодическим по

Перейдем к уравнению Если известно, то

Как интегрировать уравнение Положим

Определитель будет равен некоторой постоянной, которую всегда можно считать равной 1, поскольку определены лишь отношения коэффициентов а коэффициент можно выбирать произвольно.

Применим теперь метод вариации постоянных, Если через и у обозначить не две постоянные, а две функции от то эти функции можно

найти из уравнений

Если для краткости обозначить

то уравнение (8) можно заменить двумя следующими:

откуда

Уравнения (9) легко интегрируются.

Возьмем, например, второе из этих уравнений. Ф? можно разложить в ряд вида

здесь — постоянные, целое число, линейная комбинация с целыми коэффициентами величин Свободный член для наглядности выписан отдельно.

Из уравнения

найдем

где произвольная функция от

Если мы хотим, чтобы величина у разлагалась в тригонометрический ряд вида (10), то необходимо:

1) чтобы функция была равна нулю (так как я не предполагал, что существует соотношение вида Итак, мы считаем, что

2) чтобы было равно нулю.

Следовательно, чтобы решить нашу задачу, необходимо удовлетворить двум условиям: свободный член также как и свободный член. должен быть равен нулю.

Выберем так, чтобы удовлетворить одному из этих условий, тогда второе условие выполняется автоматически, если только задача имеет решение.

Чтобы найти воспользуемся уравнением Чтобы имел тригонометрический вид, необходимы два условия. Первое удовлетворяется с помощью специального выбора а о втором можно специально не заботиться.

Итак, либо задача не имеет решения, либо наши условия должны выполняться автоматически.

193. Чтобы доказать, что эти условия на самом деле выполняются автоматически, мне следует показать, что решение задачи всегда возможно. Мы уже встречались с подобной ситуацией: метод п. 127 нельзя было бы считать обоснованным, если бы в п. 125 заранее не была доказана возможность соответствующего разложения.

Рассмотрим систему канонических уравнений

Я предполагаю, что разлагается по степеням параметра

но я не предполагаю более, как в п. 125, что не зависит от

Функция по предположению периодическая (период равен по Наконец, я предполагаю, что способ интегрирования уравнений

известен, а решения удовлетворяют следующим условиям.

1. Переменные и зависят от постоянных интегрирования

аргументов

2. В свою очередь эти аргументов зависят от времени, так что

— постоянные, зависящие от первых постоянных интегрирования означают новых постоянных интегрирования.

3. Величины являются периодическими функциями от с периодом

4. Выражение

представляет собой полный дифференциал.

Очевидно, что

т. е. функция зависит только от постоянных интегрирования Напомним теорему п. 4, которую можно было бы сформулировать так.

Произведем замену переменных и перейдем от одной системы сопряженных переменных к другой системе сопряженных переменных Чтобы система уравнений сохраняла канонический вид, необходимо и достаточно, чтобы выражение

было полным дифференциалом.

Отсюда следует, что если в рассматриваемом случае в качестве новых переменных принять то уравнения (1) сохранят канонический вид и перейдут в уравнения

Очевидно, что:

1) функция периодична по

2) в силу соотношения (3) функция зависит только от Следовательно, для уравнений (5) выполняются условия пунктов 125 и 127. Отсюда следует, что этим уравнениям формально можно удовлетворить следующим образов.

Величины разлагаются по степеням

Коэффициенты зависят от постоянных интегрирования и аргументов

где постоянные, разлагающиеся по степеням а — произвольные постоянные.

Коэффициенты периодические по за исключением коэффициента равного Кроме того, коэффициент равен постоянной.

Эти разложения подставим в уравнения, с помощью которых старые переменные можно выразить в виде функций от новых переменных

Мы видим, что уравнениям (5) формально можно удовлетворить следующим образом.

Переменные можно разложить по степеням а именно:

Здесь коэффициенты периодичны по исключением но разность будет периодической, при этом не сводится к постоянной а

194. Применим эти принципы к уравнению (1) п. 191, которое запишем под новым номером

Попытаемся привести это уравнение к каноническому виду.

Пусть — функция от такая, что

так же, как и функция будет разлагаться по степеням х и синусам и косинусам линейных комбинаций

с целыми коэффициентами.

Для симметрии обозначений положим

Кроме того, пусть

(мы предполагаем, что в и выражения заменены на в результате чего обе части уравнения (6) будут функциями от периодическими по с периодом

Введем вспомогательных переменных

и положим

Уравнение (6) можно заменить системой канонических уравнений

Далее, если положить (ср. п. 181)

то выражение

будет полным дифференциалом. Следовательно, если в качестве переменных выбрать то канонический вид уравнений не изменится.

Кроме того, функция будет периодической по и

Малый параметр а играет здесь роль параметра Очевидно, что разла гается по степеням а.

Если положить то

Можно найти функцию зависящую от произвольных постоянных которая удовлетворяет уравнению

С точностью до некоторых различий в обозначениях это уравнение совпадает с уравнением п. 181. В п. 181 мы видели, что если считать малым коэффициентом, аналогичным параметру п. 125, то к этому уравнению можно будет применить методы п. 125. Функция зависит от но периодична только по (ср. с п. 181). В этом можно убедиться, применив к уравнению (8) метод п. 125 (роль параметра играет

Отсюда следует, что уравнениям

можно удовлетворить, полагая так же, как в п. 3,

и, кроме того,

где и — две постоянные, причем вторая из них произвольна.

При получим

Аналогично

Что же касается переменной то

так что коэффициент К представляет собой не что иное, как взятое с обратным знаком число

Функцию а также зависимость от найти нетрудно. Мы легко найдем их, если число и коэффициенты определенные в предыдущей главе, известны.

Замечу только, что в силу самого определения новых переменных выражение

и, следовательно, выражение

будут полными дифференциалами.

Кроме того, будут периодическими функциями от Наконец,

Следовательно, если в качестве новых переменных принять то канонический вид уравнений (7) не изменится и их можно будет записать в виде

Кроме того, функция будет периодической по При

зависит лишь от

Итак, мы находимся в условиях пунктов 125 и 127 и можем заключить, что и и, следовательно, можно формально представить в виде функций от произвольных постоянных и переменных так что функции будут допускать разложение по степеням и будут периодическими по Переменные тк будут иметь вид

где новые постоянные интегрирования, а постоянные разлагаются по степеням а.

Кроме того, нетрудно видеть, что в рассматриваемом нами частном случае при к

Чтобы удовлетворить не только уравнениям (7), но и уравнениям (6), из которых они получены, необходимо положить

Из всего сказанного следует, что задача, сформулированная в предыдущем пункте, всегда имеет решение и, следовательно, те условия, о которых там говорилось в самом конце, выполняются автоматически.

195. Наши выводы остаются в силе при любых значениях в частности при Этот факт не мог не заметить Гильден. Причина, по которой он ввел член в левую часть уравнения, несмотря на то, что коэффициент очень мал, состояла отнюдь не в том, чтобы избежать вековых членов. Причина введения им этого члена совсем иная. На ней я и хочу остановиться подробней.

Если обратиться к предыдущей главе, то видно, что коэффициенты обращаются в бесконечность, если целое число. Следовательно, эти коэффициенты очень велики, если мало отличается от какого-нибудь целого числа или от которое в свою очередь мало отличается от какого-нибудь целого числа.

Итак, записав уравнение предыдущей главы в виде

мы могли бы применить к нему методы п. 127, считая, что роль параметра играет Сходимость при этом была бы чрезвычайно медленной, если бы мало отличалось от целого числа.

Рассмотрим теперь уравнение

Пусть произвольный член разложения имеет вид

где положительное целое число или нуль. Если то эти члены не зависят от а; и их можно оставить в правой части. Если же , то выписанные члены содержат множитель который в общем случае очень мал и не может оказывать сильного влияния.

Остается случай .

В силу только что сказанного к уравнению

можно применить методы п. 127. Если роль параметра играет а, то сходимость будет медленной или быстрой в зависимости от того, будет или не будет достаточно близко к целому числу. Сходимость будет особенно медленной, если мало отличается от 1. В самом деле, из п. 179 следует, что выражение содержит в знаменателе .

Из этого вытекает, что, разложив так же, как в п. 179, по степеням получим члены

Следовательно, функция , удовлетворяющая уравнению

будет принимать очень большие значения, если мало отличается от 1. Но уравнение (2) перейдет в уравнение (3), если произвести замену на

Поэтому, как только что указывалось, решение уравнения (2) будет большим, а сходимость его медленной, если мало отличается от 1.

Следовательно, если в правой части уравнения (1) имеется член, содержащий х в первой степени, и если его аргумент таков, что мало отличается от 1, то сходимость можно значительно ускорить, перенеся этот член в левую часть.

Посмотрим, встречается ли этот случай в приложении метода Гильдена к задаче трех тел.

Рассмотрим снова уравнение

Члены функции В имеют тот же порядок величины, что и возмущающие силы. Они зависят от Мы имеем право допустить, что переменные можно исключить с помощью методов пунктов 170—172 или аналогичных им, представить в виде функции Тогда функция В будет зависеть лишь от и члены ее будут иметь

Что же касается X, то эта величина будет равна

где целые числа, отношение средних движений двух нет.

Выделим в В два следующих члена:

и положим

Член можно перенести в левую часть и записать

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1). Чтобы понять, следует ли переносить в левую часть член необходимо выяснить, будет ли величина, соответствующая мало отличаться от 1. Но эта величина равна

а параметр а имеет тот же порядок, что и возмущающая функция. Следовательно, перенеся в левую часть, мы значительно ускорим сходимость. Переносить же для этого другие члены В не следует.

Рассмотрим теперь наш вопрос несколько подробнее. Трудность состоит в том, что коэффициент при мало отличается от 1 или, если возмущающие массы равны нулю, равен 1.

Действительно, если возмущающие массы равны нулю, то движение становится кеплеровским, и уравнения принимают вид

Если бы возмущающие массы были все время равны нулю, а обе планеты притягивались бы центральным телом, по закону притяжения

отличному от вакона Ньютона, то выписанные выше уравнения приняли бы вид

где некоторая функция от и, вид которой зависит от закона притяжения.

Далее так же, как в п. 169, положим

где известная функция от мало отличающаяся от и, и пренебрежем более высокими степенями Получим

Здесь производная функции А — известная функция от (так же, как и

Например, если бы было некоторой постоянной, а линейной функцией, то была постоянной, вообще говоря, отличной от 1, и той трудности, с которой мы только что столкнулись, не возникло.

Итак, если закон притяжения отличен от закона Ньютона, то трудность, из-за которой член с нужно было перенести в левую часть, не возникает.

Это связано со следующим обстоятельством. Если закон притяжения ньютоновский и предполагается, что возмущающие массы всегда равны нулю, то перигелии будут неподвижны, что неверно, если закон притяжения отличается от закона Ньютона.

Именно на это я уже указывал в начале главы XI.

Итак, трудность, побудившая Гильдена перенести член, содержащий в левую часть уравнения, в точности та же, что и трудность, преодоленная нами выше с помощью методов главы XI.