Обобщение предыдущих результатов

189. Все рассмотренные методы, за исключением метода Гильдена» применимы ко всякому уравнению вида

где периодическая функция от и, следовательно, допускающая разложение в тригонометрический ряд.

Чтобы применить эти методы к уравнению (1), потребовалось бы изменить лишь кое-какие детали, что не составило бы никакого труда для читателя. Большая часть результатов осталась бы по-прежнему верной. Некоторые из них будут верными, если функция четная.

Гильден, желая распространить свой метод на уравнение (1), предложил остроумный метод проб, на котором я не буду останавливаться, ибо пользоваться им пришлось бы лишь в редких случаях.

Предположим теперь, что функция не периодическая, а имеет вид

где малый численный коэффициент, сумма членов вида

т. е.

Величины постоянные, но величины несоизмеримы между собой, ибо в противном случае функция была бы периодической.

В этом случае изложенные методы также будут применимы, но возникающие при этом ряды, которые можно расположить по степеням не будут более сходиться. Поэтому методы имеют лишь тот смысл, который в силу главы VIII имеет всякий метод формального анализа.

Итак, положив

мы можем формально удовлетворить уравнению (1), Величины означают ряды, расположенные по степеням коэффициенты которых постоянны. Величины представляют собой линейные комбинации величин с целыми коэффициентами, так что

а суммирование в (2) следует произвести по всем наборам целых чисел

Расходимость ряда (2) может вызвать некоторое удивление. В самом деле, предположим, что имеет вид

где и целые числа, а постоянная X — одна и та же для всех Будем изменять X, оставляя без изменений

При рациональных X величины будут соизмеримыми, и функция будет периодической. Из п. 29 известно, что уравнение (1) имеет решение вида (2). Более того, это решение не является чисто формальным и ряды сходятся.

Поскольку во всяком интервале имеется бесконечно много рациональных чисел, вызывает удивление то обстоятельство, что среди рядов, получающихся, когда X пробегает сколь угодно малый интервал, имеется бесконечно много сходящихся и бесконечно много расходящихся.

Этот парадоксальный факт становится более понятным, если рассмотреть следующий простой пример.

Пусть имеется уравнение первого порядка

Я буду предполагать, что представляет собой ряд вида

Здесь принимают все возможные целые значения, X — пекоторая постоянная, постоянные коэффициенты, малый параметр, по степеням которого производится разложение.

Интегрируя, получаем

Если X — рациональное число, то это решение следует несколько видоизменить. В самом деле, пусть где взаимно простые числа. Тогда будет равно нулю, если

где целое число.

В результате

где суммирование не распространяется на те при которых разность обращается в нуль, и где

Если в формулах (4) и (5) от логарифмов перейти к числам, то получим и в том и в другом случае

где ряд, расположенный по степеням коэффициенты которого состоят из конечного числа членов с

или

Между указанными двумя случаями имеется двоякое различие.

1. Если число рациональное, то ряд сходится. Наоборот, если к иррационально, то ряд может расходиться и решение может стать чисто формальным.

2. Значение показателя С не одинаково в рассматриваемых двух случаях. Если иррационально, то С равно Если же к рационально, то С равно В. Следовательно, С не является непрерывной функцией от к.

Аналогично обстоит дело и с Л в случае уравнения (1). Это объясняет, почему в вопросах такого рода нельзя проводить рассуждения по непрерывности.