Применение метода Дарбу

99. Предположим теперь, что мы с помощью предыдущих исследований установили, какая особая точка функции нам подходит, и,

следовательно, мы знаем, каковы окружности

ограничивающие область, в которой функция разлагается в ряд Лорана, и какие особые точки расположены на этой окружности. Вообще, на каждой окружности имеется по одной особой точке.

Итак, пусть особая точка, расположенная на окружности Пусть соответствующие значения Легко видеть, что и вполне определены алгебраическими уравнениями, которые мы исследовали выше; напротив, значение

определено не однозначно, но имеет с значений, которые я обозначу

где первообразный корень степени из единицы.

Применим к разложению функции метод Дарбу. Для этого нам необходимо знать, как эта функция ведет себя в окрестности особой точки

Когда z очень близко к функция имеет две особые точки очень близкие к она имеет также с — 1 пар других особых точек

очень близких соответственно к

Контур интегрирования С, вдоль которого берется интеграл

должен проходить между точками и и также между точками Можно, кроме того, предположить, что этот контур имеет следующую симметрию: он будет составлен из с дуг где дуга переходит в дугу при замене на поскольку

интеграл, взятый вдоль каждой из с дуг будет одив и тот же, и мы будем иметь

Дуга которая является нашим новым путем интегрирования, пройдет тогда только между особыми точками кроме того, разобьем дугу на три частичные дуги , я назову а и концы и у— концы концы . Я буду предполагать, что именно пройдет между и что, когда z стремится к ни одна из четырех точек не будет стремиться к так что все эти четыре точки будут находиться на конечном расстоянии от

Наш интеграл, взятый вдоль является суммой трех других, взятых соответственно вдоль . Первый и третий интегралы остаются голоморфными функциями z в окрестности точки поскольку точки находятся на конечном расстоянии от дуг . Таким образом, только второй интеграл, взятый вдоль имеет особой точкой; следовательно, изучение именно второго интеграла позволяет установить поведение функции в окрестности

Итак, посмотрим как ведет себя функция в окрестности точки Конечно, это зависит от природы рассматриваемой особой точки. Я предположу сначала, что это одна из точек, которые мы обозначили буквами D, F, Т, С и теми же буквами со штрихами или же, когда наклонение не равно нулю, одна из тех точек, которые мы обозначили буквами или обратных к ним. Это наиболее важный случай, поскольку мы видели, что если наклонение и один из эксцентриситетов очень малы, то нам подходит точка

При сделанном предположении разлагается в ряд по возрастающим степеням

Таким образом, мы имеем

где через обозначен ряд по возрастающим степеням

Я предположу, что z достаточно близко к и что точки, обозначенные (концы ), достаточно близки к хотя их расстояние от этой точки по предположению конечно, чтобы ряд сходился при

Каков будет теперь вид ряда Во-первых, при

мы должны иметь

Итак, если в положить то первый член разложения будет членом Отсюда и из одной теоремы Вейерштрасса следует, что тождественно выполняется равенство

где ряд по степеням обращающийся в нуль лишь при где и к — два ряда по степеням которые приводятся соответственно к и 0 при (Wеiегstгais. Abhandlungen aus der Funktionenlehre. Berlin, Springer, 1886, стр. 107 и сл.; см. также: Poincare. These inaugurale. Paris, Gautier-Villars, 1879),

Теперь мы можем положить откуда

где 0 разлагается по возрастающим степеням

Сделаем другое предположение, а именно, пусть при наклонении, равном нулю, особая точка совпадает с одной из точек В или Мы увидим тогда, что имеет тот же вид, однако имеется некоторое различие. При первом предположении к делится на но не на при втором к делится на

Последние предположения, которые нам остается рассмотреть, это те, при которых или либо или В этом случае полезно сделать замену переменных.

Предположим вначале, что

Мы возьмем тогда за новые переменные не в окрестности рассматриваемой особой точки у разлагается в ряд по возрастающим степеням и, следовательно, по степеням Функция также разлагается в ряд по степеням

Итак, если мы положим

то будет разлагаться в ряд по степеням и мы будем иметь

Функция под знаком интеграла имеет особую точку лишь при

Чтобы функция имела особую точку, надо, чтобы две из особых точек сливались в одну. Но это происходит, если одновременно

Уравнение соответствует кривым (3) и (4) предыдущего пункта (или кривой шестого порядка, которая их заменяет, когда наклонение неравно

нулю). Уравнения соответствуют особым точкам, исследованным при предыдущих двух предположениях.

Отсюда вытекает, что точка Е и обратная ей лишь кажущиеся особые точки функции и их не надо исследовать.

Предположим теперь, что

Возьмем за новые переменные у и z; сохраняя за значение, определен ное уравнением (1), мы найдем

Отсюда мы заключим, что точки, определенные уравнениями

(и для которых в то же время т. е. точки и обратные им, являются для функции лишь кажущимися особыми точками.

В случае, когда одновременно выполняются

выбор замены переменных, который, впрочем, может быть произведен бесконечным числом способов, более деликатен. Вот как можно сделать этот выбор.

Мы имеем

Положим

Тогда х будет разлагаться в ряд по степеням а у — по степеням мы будем иметь при при .

С другой стороны, получим

откуда

Вообще и будут разлагаться в ряды по степеням за исключением, однако, случая, когда наклонение будет равно нулю и когда

или

в самом деле, эта точка которую мы обозначили через двойная точка кривой (3); этот случай заслуживал бы специального исследования.

Итак имеем, взяв за независимые переменные

где разлагается в ряд по степеням Это позволяет нам записать

где разлагаются в ряды по степеням

Первый интеграл — голоморфная функция z в окрестности точки что касается второго, то он имеет тот же вид, что и интеграл

к которому мы пришли при первых двух предположениях. Мы должны, следовательно, заключить, что точки

будут для настоящими особыми точками, а не только кажущимися.

На первый взгляд может показаться удивительной разница между кажущимися особыми точками, такими, как и т. д., и настоящим особыми точками, такими, как или и т. д.

Действительно, их происхождение, по-видимому, одно и то же; мы получаем эти точки, записывая, что две особые точки функции сливаются в одну. Но исследуем эту ситуацию немного подробнее. Дадим z значение, очень близкое к так что точки будут очень мало отличаться одна от другой, и изучим поведение функции

в окрестности этих двух точек. Разница между двумя случаями очень велика.

Первый случай. Точка такая точка, как точка или т. е. настоящая особая точка функции .

Тогда два значения переходят одно в другое при обходе вокруг точки и эти же значения также переходят одно в другое при обходе вокруг точки Если построить кривую, взяв за абсциссу, за ординату, то эта кривая будет изменяться при изменении а при она будет иметь двойную точку.

Второй случай. Точка такая точка, как точка Е, т. е. кажущаяся особая точка .

Тогда четыре значения переставляются друг с другом при обходе вокруг и а именно первое — со вторым, третье — с четвертым, при обходе вокруг и второе — с третьим, при обходе вокруг

Теперь построим риманову поверхность, соответствующую функции , т. е. риманову поверхность, имеющую столько же листов, сколько эта функция имеет ветвей.

В первом случае порядок связности этой поверхности понизится на две единицы, когда z станет равным во втором случае он останется прежним. В этом истинная причина различия обоих случаев.

То обстоятельство, что некоторые особые точки лишь кажущиеся, способно при надлежащем употреблении значительно облегчить исследование двух предыдущих пунктов.

100. Теперь нет ничего легче, чем выяснить поведение функции в окрестности точки

Действительно, мы имеем

где остается голоморфной при и интеграл берется вдоль дуги .

Поскольку 0 разлагается в ряд по степеням по степеням мы можем записать

так что, полагая

получаем

С другой стороны,

Отсюда мы заключим (заметив, что путь интегрирования проходит между что

где голоморфна при

В случае, когда будет делиться на надо было бы писать (второе предположение предыдущего пункта), а не Затем получаем

Следовательно, функция остается голоморфной по z, если и нечетно. Если теперь четно и мы полагаем

то получаем

где голоморфна по z.

Итак, окончательно имеем

где остается голоморфной по z при

Я могу еще записать

где остаются голоморфными при

Мы имеем

Итак, если

и если

то приближенно при очень больших будем иметь

Вообще можно ограничиться первым членом

где - значение при или значение 0 при

Но если я обозначу через А квадрат расстояния между двумя планетами, то

Итак,

при условии, конечно, что мы полагаем [26].

Сказанное применимо как в первом, так и во втором предположении предыдущего пункта. Если положить

то можно было бы применить аналогичный метод, поскольку в этом случае мы свели к интегралу

который имеет тот же вид, что и

Коэффициент который мы вычислили, тот же, что и в разложении главной части возмущающей функции. Действительно, мы положили

Теперь следовало бы учесть дополнительную часть возмущающей функции. Итак, положим

Затем

Если предположить, что то Втитг будет коэффициентом при в точно так же, как Атитг было коэффициентом при в .

Функция не имеет других особых точек, кроме тех, что находятся на прямых

Следовательно, функция будет иметь лишь четыре особые точки, а именно

Из этого следует, что если подходящая в нашем случае особая точка не является одной из этих четырех, т. е. в двух первых предположениях (а это наиболее обычный случай), разность будет пренебрежимо малой по отношению к и приближенное значение будет таким же, как приближенное значение .

Если, напротив, особая точка подходящая в нашем случае, будет одной из этих четырех точек, то надо учитывать разность что, впрочем, не представляет трудности.