Новое доказательство предложения п. 108

110. Чтобы доказать это, я подвергну уравнения преобразованию, которое мне в то же время даст новое доказательство теоремы, обсуждавшейся в . Для определенности предположим, что имеются всего две степени свободы; тогда мы сохраним лишь одну из величин и сможем записать наши уравнения в следующем виде:

отбрасывая ставшие ненужными индексы при а и

Нам известно, что а разлагается в ряд по нечетным степеням следовательно, по степеням обратно, разлагается в ряд по степеням мы можем заменить этим разложением, так что функция будет разложена в ряд по степеням При сведется к зависящему лишь от

Пусть

— исходное периодическое решение. Положим, как и в п. 79,

наши уравнения примут вид

где разлагаются в ряды по степеням а коэффициенты — периодические функции

При и, следовательно, обращаются в нуль; итак, делятся на и я могу положить

где означает сумму членов первой степени по означает сумму членов высших степеней.

Точно так же, когда а равно нулю, и, следовательно, зависят лишь от но не от

Итак, я могут положить

где означает сумму членов первой степени по и г), в то время как означает сумму членов степеней, больших первой. Кроме того, я предполагаю, что зависят лишь от и

Положим

будут делиться на , а на так что я смогу положить

и наши уравнения примут вид

Рассмотрим уравнения

Эти уравнения линейны относительно неизвестных и гц. Они отличаются от уравнений из лишь тем, что и заменены на и

Как мы видели в пунктах 69 и 74, уравнение, определяющее характеристические показатели, имеет четыре корня: один равен другой равен —а, а оставшиеся два равны нулю.

Первому корню, т. е. корпю а, будет соответствовать решение уравнений (2) из п. 79, которое мы научились строить в этом пункте и которое мы записали в виде

Я напомню, что равно нулю и, следовательно, делятся на а.

Второму корню, —а, будет соответствовать другое решение уравнений (2), которое мы запишем в виде

Наконец, двум нулевым корням будут соответствовать (ср. два решения уравнений (2), которые мы запишем в виде

периодические функции так же как и Как мы видели в пунктах будут, как и делиться на а.

Положим теперь

Определенные таким образом функции 0, будут играть роль, аналогичную той, которую играют функции из п. 105. Уравнения (12) примут тогда вид

функции, разложенные в ряды по степеням и а, все члены которых по меньшей мере второй степени по переменным 0 и коэффициенты которых являются периодическими функциями Кроме того, 0 должны быть периодическими функциями и члены первой степени по должны сводиться к .

Уравнения (14) аналогичны уравнениям (2) из п. 105.

В самом деле, находим

что дает нам четыре уравнения, из которых можно получить четыре функции , поскольку известные функции. Я утверждаю, что мы найдем

где периодические функции которые можно разложить в ряд по возрастающим и положительным степеням а. В самом деле, для этого достаточно, чтобы детерминант

не делился на не обращался в нуль при

При сводится к величине, которую мы назвали и эти величины удовлетворяют уравнениям (9) и (10) того же п. 79.

Здесь мы разлагаем в ряд не по степеням а по степеням а, так что величина, которую мы назвали в п. 79, равна 1. Уравнения (9) из п. 79 будут, следовательно, записываться в виде

и должны будут удовлетворяться при

Что касается второго решения, для него показатель равен —а и, следовательно, равно —1, так что эти уравнения примут вид

Это позволяет предположить, что

Так как делятся на то обращаются в нуль при . В то же время при имеем

При обращаются в нуль, и мы имеем

Находим

Отсюда мы можем заключить, что определитель при сводится к

Кроме того, находим

Определитель, образованный из который есть не что иное, как гессиан функции вообще говоря, не обращается в нуль, так что может обратиться в нуль только, если

но если заметить, что

то заключаем отсюда, что

а этого не может быть.

Следовательно, детерминант А не равен нулю. Можно еще установить это следующим образом. Рассмотрим следующие уравнения:

Это линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Они допускают четыре линейно независимых решения, а именно:

Разумеется, в надо положить так что эти величины сведутся к постоянным.

Поскольку эти четыре решения линейно независимы, их определитель при не должен обращаться в нуль; но этот определитель как раз и есть А. Следовательно, А не равен нулю, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы видим, что функции 0; действительно обладают указанными свойствами.

111. Предыдущие исследования немедленно распространяются на случай, когда имеется больше двух степеней свободы. Если мы положим

то уравнения можно будет записать, как в предыдущем пункте,

Функции обладают теми же свойствами, что и в предыдущем пункте, т. е. их можно разложить в ряды по степеням и они являются периодическими по Кроме того, линейны по а Х и содержат лишь члены самое меньшее второй степени относительно этих переменных.

Рассмотрим затем уравнения

они допускают линейно независимых решений, соответствующих; характеристическим показателям, не равным нулю; эти решения могут быть записаны в виде

они допускают сверх того два вырожденных решения, определенных в п. 80, которые я запишу в виде

и

Функции периодические по Кроме того, делится на

Мы можем теперь положить

тогда мы получим уравнения

Функции определены уравнениями первой степени

Определитель этих уравнений, т. е. определитель А, образованный из не обращается в нуль при Это можно было бы

доказать, как в предыдущем пункте; второе доказательство, в частности, может быть применено без изменений в случае, которым мы занимаемся.

Мы заключаем отсюда, что функции периодические по и разлагаются в ряды по возрастающим и положительным степеням

Теперь легко доказать предложение п. 108.

Действительно, предположим, что характеристических показателей имеют положительную вещественную часть и попытаемся удовлетворить уравнениям заменяя рядами по степеням, Итак, пусть

где положительные целые числа, у — положительное или отрицательное целое число, а коэффициенты , которые я для краткости буду также обозначать константы, которые надо определить.

Если мы подставим значения то получим

причем коэффициенты или будут константами, зависящими по некоторому закону от неопределенных коэффициентов . Я утверждаю, что , и, следовательно можно разложить в ряд по возрастающим степеням и что разложение не содержит отрицательных степеней.

Действительно, уравнения нам дают

при

Эти формулы позволяют вычислить последовательно коэффициенты . Действительно, если мы условимся говорить, что коэффициент так же как и имеет степень

то легко видеть, что величина зависит лишь от коэффициентов меньших степеней, которые мы можем предположить известными из предыдущих вычислений.

Можно также доказать по индукции сформулированное предложение. Действительно, я утверждаю, что оно верно для , если оно верно для коэффициентов меньшей степени; в самом деле, если это так, то оно будет верно для который зависит лишь от этих коэффициентов меньшей степени.

Итак, остается доказать, что дробь

разлагается в ряд по положительным степеням Но это очевидно, потому, что если х не равно нулю, то знаменатель не делится на Если X равно нулю, то знаменатель делится на но не на но то же самое можно сказать о числителе.

Таким образом, предложение п. 108 снова доказано.