Обобщение на случай задачи трех тел

221. Итак, вся задача сводится к интегрированию уравнения (5). Посмотрим, какой вид имеет это уравнение в случае задачи трех тел. Его можно записать так:

Но какой вид имеет

В качестве переменных выберем величины

определенные в п. 145. Если три тела движутся не в одной плоскости, то к этим переменным следует добавить еще переменные

определения которых были даны в п. 12.

Разложим функцию по положительным степеням синусами косинусам линейных комбинаций и с целыми коэффициентами. Член с

должен содержать сомножитель, представляющий собой одночлен, степень которого относительно переменных самое меньшее равна и может отличаться от только на четное число. Наконец, зависит лишь от

Установив это, предположим, что

где два целых числа, две константы. Будем считать, что производные равны этим константам, тогда последние будут аналогичны тем, которые мы в предыдущем пункте обозначили через

Положим

Чтобы найти , мы должны вычеркнуть в все члены, зависящие от и и оставить лишь члены, зависящие только от

Чтобы выявить порядок каждого члена относительно эксцентриситетов и наклонений, заменим всюду

на

и будем учитывать порядок каждого члена относительно можно записать в виде

где совокупность членов, не зависящих ни от ни от так что

совокупность членов, зависящих от и только от Функция разлагается по степеням и мы получаем

Что же касается функции то она делится на

В общем случае

так что мы можем положить

Функцию зависящую только от , можно считать постоянной. Следовательно, можно положить

и в то же время

так что уравнение (5) перейдет в уравнение

которое, если разложить радикал по степеням произвести необходимые сокращения и поделить на будет эквивалентно уравнению

причем функция будет разлагаться по положительным степеням

Наконец, положив

получим

Функция та же, что и функция, обозначенная тем же символом в п. 131 (единственное отличие состоит в том, что буквы и в рассматриваемом случае имеют индекс 1). Поэтому так же, как в п. 131, можно определить переменные (всякий раз, когда нам будут встречаться переменные мы будем заменять их переменными и и принять в качестве новых переменных

Функция будет иметь вид

(ср. с выражением в конце п. 131).

Заменив на мы, наконец, получим уравнение

которое и будем интегрировать.

Левая часть этого уравнения периодична относительно со и допускает разложение по степеням и, если положить равна не зависит больше от а только от Следовательно, методы п. 125 оказываются в этом случае применимыми.

Итак, интегрирование уравнения (5), к которому мы свели задачу, возможно.

Аналогично рассматривается случай, когда

Особые трудности возникают в случае

когда

т. е. в том случае, когда обе большие оси отличаются лишь незначительно.