Метод Линдштедта

184. Рассмотрим уравнение

и его частное решение

Ясно, что

Требуется так подобрать чтобы выполнялись уравнения (2), а ряд сходился. Точно так же можно рассматривать неоднородное уравнение

Это уравнение имеет частное решение вида

Коэффициенты было бы нетрудно вычислить (с помощью обычного метода интегрирования линейных уравнений с правой частью), коль скоро известны. Однако если требуется произвести прямые вычисления, то необходимо рассмотреть уравнения

аналогичные уравнениям (2). При это уравнение следует заменить уравнением

которое совпадает с одним из уравнений (2), если положить Пусть

зависит от Положим при

а при наоборот,

так что

В предположении, что , уравнения (4) запишутся в виде

откуда

Следовательно, мы нашли в виде непрерывной дроби

Сходится ли эта непрерывная дробь? Пусть ее подходящая дробь, тогда

и, кроме того,

Замечу прежде всего, что если неограниченно возрастает, то стремится к нулю, и ряд

сходится абсолютно (за исключением того случая, когда одна из величин обращается в бесконечность, т. е. того случая, когда X равно с точностью до целого числа. В последующих рассмотрениях этот случай следует исключить). Кроме того, начиная с некоторого места все члены этого ряда будут положительными.

Теперь я утверждаю, что стремится к некоторому конечному пределу. Аналогично обстоит дело и с

Действительно, определяются из рекуррентных уравнений (5) Найдем из этих же уравнений две величины такие, что

Любые две из величин а также любые две из величин можно задать произвольно.

Рассмотрим первых членов ряда (6), следующих за членом:

Пусть сумма этих членов. Число всегда можно выбрать достаточно большим, чтобы была положительна и меньше 1.

Запишем рекуррентное уравнение

Из этого уравнения видно, что если

то

Следовательно, достаточно выбрать так, чтобы удовлетворялось неравенство (7), как этому неравенству будут удовлетворять все Таким образом, всегда больше и, следовательно, положительны. Кроме того, рекуррентное соотношение показывает, что монотонно убывает при возрастании индекса Отсюда следует, что стремится к некоторому конечному пределу. Выберем так, чтобы выполнялось неравенство (7) и чтобы определитель

был отличен от нуля.

Тогда будут стремиться к двум конечным вполне определенным и отличным от нуля пределам . Поскольку удовлетворяют таким же рекуррентным соотношениям, как и и эти

соотношения линейны, имеем

где постоянные коэффициенты. Предел нашей непрерывной дроби будет иметь вид

Может случиться, что при некоторых значениях и, следовательно, при некоторых значения коэффициентов эта дробь обратится в нуль или в бесконечность. Однако она никогда не будет неопределенностью типа

Почти ничего не изменяется по сравнению с предыдущим и в том случае, когда и, следовательно, Например, если то наша непрерывная дробь имела бы вид

Пределом этой непрерывной дроби является некоторая функция от X, которую можно обозначить через и записать

Аналогично находим

из чего следует характеристическое свойство функции а именно,

Если вычислены, то все отношения вычисляются легко. Следовательно, если коэффициент вычислен, то коэффициенты находятся сразу же. Но очевидно, удовлетворяет уравнению

которое и определяет

При коэффициент должен быть равен а (3 должно быть равно 0. Отсюда получаем следующее уравнение, позволяющее определить

Коль скоро найдено (в общем случае найти легче с помощью изложенных выше методов), коэффициенты вычисляют так, как мы только что объяснили.