Случай, когда гессиан равен нулю

84. Перейдем теперь к случаю, когда зависит не от всех переменных

Я предположу, что зависит только от и его гессиан по этим двум переменным не равен нулю.

Чтобы лучше отметить разницу между этими переменными и их сопряженными переменными с одной стороны, и другими переменными х и у, с другой, мы условимся обозначать

через

Заметим прежде всего, что выводы п. 81 сохраняют силу, и если существует однозначный интеграл Ф, отличный от то всегда можно предположить, что не есть функция от

Теперь мы должны прежде всего показать, что

Положим

мы можем записать

где А — коэффициенты, зависящие от . Тогда получим

Это соотношение должно выполняться тождественно, и с другой стороны, поскольку гессиан функции не равен нулю, равенство

не может выполняться тождественно, если только не равны оба нулю. Из этого можно заключить, как и в п. 82, что не зависит ни от ни от

Запишем затем уравнение (3) п. 81, получим

Положим по-прежнему

Когда будет необходимо выявить индексы, я буду писать

Получим

Это соотношение должно быть тождеством; следовательно, мы можем приравнять нулю коэффициент при каждой экспоненте ?. Кроме того, придадим х такие значения, что

чтобы члены, зависящие от С, исчезли.

Будем считать, что два коэффициента принадлежат одному классу, если

и я скажу для краткости, что коэффициент принадлежит классу Из этого определения следует, что коэффициент принадлежит одновременно всем классам.

Как мы видели, если дать х значения, удовлетворяющие соотношению (12), то соотношение (13) должно выполняться для всех коэффициентов В класса

Пусть теперь ряд — два взаимно простых целых числа, таких, что

Положим

и

Если придать х такие значения, что

то соотношение

должно выполняться при всех целых значениях Я, положительных, отрицательных или нулевых.

Это может иметь место лишь в двух случаях.

1. Либо когда

откуда

Отсюда можно вывести с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям п. 82, что является функцией от что противоречит предположению, сделанному вначале.

2. Либо когда якобиан от любых функций по переменным равен нулю.

Отсюда заключаем, что если придать постоянные значения, удовлетворяющие условию то это приведет к соотношению между любыми функциями так что все эти функции можно выразить через из них.

Можно сформулировать этот результат иначе.

Рассмотрим следующие выражения:

Если предположить, что принимают постоянные значения, удовлетворяющие уравнению то эти выражения (14) зависят только от переменных, а именно от

Если существует однозначный интеграл, то все эти выражения являются функциями из них, или, другими словами, можно найти соотношение между любыми из них.

Каково условие существования трех различных однозначных интегралов

Пусть значения этих трех интегралов при Можно было бы доказать, как и выше, что всегда можно предполагать, что между не существует никакого соотношения.

Затем, полагая

мы нашли бы

Таким образом, уравнение влечет с необходимостью не только уравнение но и уравнение Рассуждением, подобным предыдущему, можно было бы убедиться, что это может произойти в двух случаях: либо когда имеется соотношение между что противоречит только что сделанному предположению; либо когда якобиан от любых из функций равен нулю вместе со всеми своими минорами первого порядка.

Отсюда следовало бы, что если удовлетворяют условию то между функциями имеется не одно, а два соотношения. Другими словами, величины (14) могут быть выражены с помощью из них.

Выражения (14), которые зависят от коэффициентов разложения функции заданы, и всегда можно проверить, имеется ли между из них одно или два соотношения.

В общем случае окажется, что таких соотношений нет, и из этого можно заключить, что не существует аналитического и однозначного интеграла, отличного от

А что произошло бы, если бы дело обстояло иначе? Чтобы иметь возможность формулировать результат полно и строго, я воспользуюсь терминологией, аналогичной терминологии предыдущего пункта. Я назову класс обыкновенным, если между из выражений (14), образованных с помощью коэффициентов из этого класса, нет соотношений; особым первого порядка, если существует одно такое соотношение; особым второго порядка, если существуют два таких соотношения и т. д. Вообще, класс будет особым порядка, если существуют соотношений между любыми из величин

Пусть некоторая область, содержащая бесконечное число систем значений и и.

Если можно найти в области значения удовлетворяющие условию то я назову класс принадлежащим этой области. Я говорил о значениях а не о значениях потому что левая часть зависит лишь от

Я могу теперь сформулировать следующий результат.

Обозначим через область, содержащую бесконечное число систем значений .

Если в любой области составляющей часть можно найти бесконечное число обыкновенных классов, то можно быть уверенным, что, кроме не существует другого интеграла, который был бы аналитическим и однозначным по и и, периодическим по и который оставался бы таковым при всех действительных значениях при достаточно малых (я и при значениях и, принадлежащих области

Если в любой области составляющей часть можно найти бесконечное число особых классов порядка, то не могут существовать более различных однозначных интегралов, включая