Расходимость рядов п. 108

109. К несчастью, ряды, полученные таким образом, не сходятся. Рассмотрим в самом деле

Если Т не равно нулю, то это выражение можно разложить в ряд по степеням однако радиус сходимости полученного таким образом ряда стремится к нулю, когда стремится к нулю.

Итак, если мы разлагаем в ряд различные величины по степеням можно всегда найти среди этих величин бесконечное число таких, у разложений которых радиус сходимости как угодно мал.

Можно было бы еще надеяться, сколь бы невероятным это ни показалось, что дело обстоит иначе для разложений различных величин но доказательство, которое я дал в т. XIII «Acta mathematica» (стр. 222) [28] и к которому я возвращусь впоследствии, показывает, что в общем случае это не так. Итак, следует отказаться от этой слабой надежды и прийти к выводу, что ряды, которые мы только что построили, расходятся.

Но нельзя ли извлечь из них некоторую пользу, даже если они и расходятся.

Рассмотрим сначала следующий ряд, более простой, чем наши ряды:

Этот ряд сходится равномерно, когда остается положительным и остается меньше по абсолютной величине, чем положительное число меньшее единицы, в остальном произвольное. Ряд

также сходится равномерно.

Если теперь мы попытаемся разложить в ряд по степеням то ряд, к которому мы приходим,

не сходится. Если в этом ряду пренебречь всеми членами, в которых степень больше то получим некоторую функцию

Легко видеть, что выражение

стремится к 0, когда стремится к 0, оставаясь положительным, так что ряд (10) асимптотически представляет функцию при малых значениях так же, как и ряд Стирлинга асимптотически представляет эйлерову функцию при больших значениях х.

Я намерен установить в следующем пункте, что расходящиеся ряды, которые мы научились строить в п. 108, полностью аналогичны ряду (10).

В самом деле, рассмотрим один из рядов

рассуждения п. 105 показали, что эти ряды равномерно сходятся, если меньше по абсолютной величине некоторых пределов и веществен.

Если разложить в ряд по степеням то ряды (10), как мы уже говорили, будут расходиться. Предположим, что в разложении мы пренебрегаем членами с показателями при большими мы получим некоторую функцию

которую можно разложить в ряд по степеням и которая будет многочленом степени по

Далее мы увидим, что выражение

стремится к нулю, когда стремится к нулю, оставаясь положительным, как бы велико ни было

В самом деле, если обозначить через множество членов разложения в которых показатели при не превышают то получим

и я покажу, что ряд в правой части равномерно сходится и что все члены стремятся к 0, когда стремится к 0.

Следовательно, можно сказать, что полученные нами в ряды представляют асимптотические решения при малых значениях подобно тому как ряд Стирлинга представляет эйлеровы функции.