Глава IX. МЕТОДЫ НЫОКОМА И ЛИНДШТЕДТА

Исторический очерк

123. В 1882 г. в журнале «Memoires de lAcademie de Saint-Petersburg» Линдштедт изложил метод интегрирования с помощью последовательных приближений следующего уравнения:

где функция, допускающая разложение в ряд по возрастающим степеням х с коэффициентами, периодически зависящими от времени

Линдпггедт также показал, что тот же метод применим и к уравнениям

имеющим более общий характер, чем уравнение (1). Эти уравнения при условии, что

являются одним из частных случаев уравнений динамики.

Уравнение (1) играет чрезвычайно важную роль в небесной механике, так как Гильден неоднократно приходил к этому уравнению в ходе своих прекрасных исследований.

Линдштедт не доказывал сходимость тех разложений, к которым приводит его метод, и в действительности эти ряды расходятся. Однако в предыдущей главе мы видели, что они тем не менее могут представлять интерес и быть полезными.

Имеется и еще одна весьма серьезная трудность. Легко доказать, что этот метод применим в первых приближениях, но можно усомниться, будет ли он применим в последующих приближениях. Линдштедт не

сумел доказать это строго и оставил здесь кое-какие сомнения. Эти сомнения оказываются безосновательными, и его прекрасный метод всегда законен. Я доказал это сначала с помощью интегральных инвариантов в мемуаре, помещенном в журнале «Bulletin astronomique» (т. III, стр. 57), а затем, уже не прибегая к этим инвариантам, в «Comptes rendus» (т. СVIII, стр. 21) [31]. Именно это второе доказательство я и воспроизведу в этой главе. Я укажу также один способ изложения метода Линдштедта, который позволяет применить его к наиболее общему случаю уравнений динамики.

Тем не менее имелось еще несколько частных случаев, не поддававшихся этому методу, и среди них общий случай задачи трех тел.

Последний в силу своей важности привлек внимание Линдштедта. В «Comptes rendus» (т. XCVII, стр. 1276 и 1353) он показал, каким образом можно было бы применить его метод в этом случае.

К сожалению, те трудности, о которых шла речь выше, все еще оставались, и разложения не только становились расходящимися, о чем по причинам, изложенным в предыдущей главе, можно было бы не беспокоиться, но и сама возможность таких разложений и, следовательно, законность самого метода оказывались под сомнением.

Я полагаю, что мне удалось устранить эти сомнения. Именно этому я и посвящаю главу XI.

Чтобы показать, каким образом метод Линдштедта можно применить к задаче трех тел, я буду придерживаться такого способа изложения, который не совпадает со способом изложения самого автора этого метода и не приспособлен для вычисления различных членов разложения, но зато наилучшим образом подходит для доказательства законности метода.

На том пути, по которому пошел Линдштедт, он имел предшественника — Ньюкома («Smithsonian contributious to Knowledge», декабрь 1874), который первый указал ряды, представляющие движение планет и содержащие лишь синусы и косинусы. Его метод, к рассмотрению которого я еще вернусь, основан на вариации произвольных постоянных.

124. Хотя среди методов, недавно появившихся в небесной механике, методы Линдштедта не являются первыми по времени, я все же считаю, что изложение новых методов последовательных приближений удобно начать именно с них. В самом деле, я не мог бы отделить их изложение от изложения методов Ньюкома, которые хронологически были предложены первыми. К тому же методы Линдштедта по существу являются наименее сложными из всех методов и более других пригодны при рассмотрении наиболее простых случаев. Эти методы оказываются несостоятельными лигпь тогда, когда имеются весьма малые знаменатели. В этом случае предпочтение приходится отдавать более совершенным методам Гильдена. Мой способ изложения теории Линдштедта значительно отличается от изложения самого автора. Кроме того, я применяю методы Линдштедта к большему числу случаев. Однако, как я покажу

несколько дальше, ряды, которые я получу, оказываются тождественными с его рядами.

Кроме того, я во многом дополнил эти результаты и попытался применить их к возможно большему числу задач.