Применение к задаче трех тел

152. В главе XI мы видели, каким образом применяют к задаче трех ел принципы, изложенные в п. 134. Очевидно, что и результаты предыдущего пункта, непосредственно вытекающие из этих принципов, равным образом оказываются применимыми к задаче трех тел. В главе XI мы

использовали последовательно следующие переменные:

В переменных (3) уравнения движения принимают тот же вид, что и уравнения п. 134 и предыдущего пункта.

Однако замена переменных, позволяющая перейти от переменных (2) к переменным (3), достаточно утомительна. Чаще всего эксцентриситеты достаточно малы и эту трудность удается обойти с помощью того искусственного приема, который я указал в конце п. 140. Напомню, в чем состоит этот прием. Члены в разложении зависящие от тех степеней эксцентриситетов и наклонений, показатель которых больше трех, весьма малы. Если обозначить

где означает совокупность членов порядка не больше членов порядка 4 и выше, то будет очень мала, будет конечна. В силу этого я могу записать

и, таким образом, функция оказывается разложенной по степеням Если рассматривать как периодическую функцию от и то ее среднее значение не будет зависеть от так что условия п. 134 будут выполняться и в переменных (2).

Правда, параметр возникающий при таком подходе, будет иметь несколько иной смысл, чем обычно, но это обстоятельство не очень важно, ибо цель введения этого параметра заключается лишь в том, чтобы выявить порядок величины различных членов.

Коль скоро мы условились о таком понимании параметра результаты предыдущего пункта оказываются непосредственно применимыми к рассматриваемой нами задаче. Однако для того чтобы избежать тех трудностей, о которых говорилось в главе XII, я вместо переменных (2) буду придерживаться переменных (1), что приведет к некоторым изменениям в этих результатах. Я особо подчеркиваю необходимость этих изменений. Для большей симметрии обозначений я буду на протяжении оставшейся части этой главы писать вместо вместо вместо Ясно, что это не может привести ни к каким недоразумениям.

Мы знаем, что переменные (2) допускают формальные разложения по возрастающим степеням а следующего вида:

Здесь периодические функции от за исключением случая ; константы; и 0 равны а величина равна

Выбрав переменные (1), мы аналогичным образом получим

где и периодические функции от Если для краткости обозначить константу символом то

Добавлю еще, что выражение

должно быть полным дифференциалом. Отсюда следует, что полным дифференциалом должно также быть и выражение

ибо

Если мы придадим переменным тот жесмысл, что и в предыдущем пункте, то уравнения запишутся в виде

Эти уравнения аналогичные уравнениям (3) из предыдущего пункта точно так же, как разложения (4) аналогичны разложениям (2) того же пункта.

Разумеется, к уравнениям (5) следует еще присоединить и другие уравнения, в которых вместо фигурируют соответственно Добавлю, кроме того, что число параметров равно 2 в задаче трех тел и в задаче тел, тогда как число

параметров в задаче трех тел равно 4, в пространственной задаче тел равно и в плоской задаче тел равно лишь

Подстановка разложений (4) и разложений, полученных для в уравнения (5) приводит к тому, что обе части этих уравнений разлагаются по степеням и мы можем записать

Эти уравнения аналогичны уравнениям (9) и (10) из п. 127 и другим уравнениям, встречавшимся в предыдущем пункте.

Будем производить вычисления в порядке, указанном в предыдущем пункте, и положим

Знаки в этих уравнениях имеют тот же смысл, что и в уравнении (4) предыдущего пункта. Кроме того, к этим уравнениям надлежит присоединить другие уравнения, в которых вместо символов

фигурируют те же символы, но со штрихами, или же символы

или же эти символы, но со штрихами, или же

или же, наконец, символы

Разумеется, не следует смешивать

Аналогично, положим

В этих уравнениях знаки имеют такой же смысл, как и в уравнениях (5) предыдущего пункта. К выписанным только что уравнениям следует

присоединить другие уравнения того же вида, в которых буквы

заменены теми же буквами, но со штрихами либо буквами

либо только что выписанными буквами, но со штрихами, либо

либо

После этого мы можем выписать цепочку уравнений, аналогичных уравнениям (6) предыдущего пункта.

Если для краткости обозначить через и некоторую функцию, такую, что

то эти уравнения запишутся в виде

К двум первым уравнениям системы (6) необходимо присоединить еще два других, которые отличаются от них тем, что все буквы заменены буквами со штрихами, за исключением Вместо в этих уравнениях фигурирует Так же, как и в предыдущем пункте, при левая часть этих уравнений обращается в нуль. При обращается в нуль второе слагаемое в левой части.

Приравнивая средние по значения правых и левых частей, получим уравнения, аналогичные уравнениям (7) предыдущего пункта. Они записываются в виде

При левая часть должна обращаться в нуль.

Кроме того, мы присоединим к ним уравнения, аналогичные уравнениям (13) и (14) предыдущего пункта.

В самом деле, мы видели, что выражение

должно быть полным дифференциалом некоторой функции, все производные которой периодические. Следовательно, этими же свойствами будут обладать и выражения

В каждом из этих выражений первая сумма 2 берется для двух планет, так что, например,

Если мы будем временно рассматривать величины как константы, а как единственные переменные, эти выражения тем более будут полными дифференциалами; но будут нулями, так что и

будут полными дифференциалами. Поскольку также будет полным дифференциалом и выражения

также будут полными дифференциалами функций, производные которых периодичны и, следовательно, таких, что среднее значение их производных по и не зависит от

Проводя те же рассуждения, к которым мы прибегали в предыдущем пункте при выводе уравнений (14) из уравнений (13), найдем

Сначала рассмотрим уравнения (6), положив в них Нетрудно видеть, что эти уравнения выполняются автоматически, поскольку (в силу сделанного нами предположения) представляют собой константы, величины и равны величины равны равны нулю, принимают надлежащие значения.

Перейдем теперь к уравнениям (7) и положим в них Так же, как в уравнениях (8) предыдущего пункта, получим

Так же, как в предыдущем пункте, установим, что являются производными от по и Разумеется, величины следует заменить на , Выражение для имеющее вид

мы нашли в главе Здесь В зависят от .

Точно так же ясно, что уравнения за исключением второго, удовлетворяются автоматически, поскольку

Это равенство имеет место, ибо

представляют собой результат подстановки в и В величины вместо ).

С другой стороны,

как мы видели выше, должны быть константами, поэтому также должно быть константой, которую мы можем приравнять

Для того чтобы вычисления можно было проводить в том же порядке, что и в предыдущем пункте, необходимо рассмотреть теперь уравнения (6.1.1), (6.3.1), (6.4.1).

Левые их части равны

а правые части представляют собой известные функции, периодические по средние по значения которых равны нулю вследствие того, что выполняются уравнения

Поэтому так же, как в предыдущем пункте и в , можно проинтегрировать указанные уравнения и найти

Поскольку мы знаем, что среднее значение равно некоторой произвольно выбираемой константе, величину можно считать полностью известной.

Рассмотрим уравнение (6,2,1), левая часть которого равна Так как правая часть не содержит других неизвестных величии, кроме ее следует считать известной функцией и от С помощью метода, которым только что пользовались, получим величину

Теперь необходимо найти с помощью уравнений (7,3,2) и (7,4,2). Правая часть этих уравнений известна не полностью. В самом деле, она не зависит от но зависит от Члены, которые зависят от этих величин, можно записать, например, в виде

[для уравнения (7,3,2)].

Первое слагаемое известно, поскольку известно Из приведенного выше вида функции В видно, что все вторые производные этой функции равны нулю, за исключением производной Следовательно, два последних слагаемых равны

Кроме того, в правой части уравнения (7,3,2) имеется член, содержащий а в правой части уравнения (7,4,2) — член, содержащий В эти члены входит неизвестная величина

Таким образом, правая часть уравнения (7,3,2) равна — плюс некоторая известная функция от (и от Точно так же правая часть уравнения (7,4,2) представляет собой известную функцию от (и от В результате уравнения запишутся в виде

где известные периодические функции от Пусть для краткости

где некоторые целые числа, и точно так же, пусть

Предположим, что

— те члены известных функций Ф, и которые содержат а

— аналогичные члены неизвестных функций Нам необходимо выразить коэффициенты через коэффициенты .

Приравнивая коэффициенты при получим из уравнений

Уравнения (10) позволяют вычислить неизвестные коэффициенты , если только определитель системы (10) не равен нулю. Но этот определитель равен

Поэтому он может обращаться в нуль только при условии, что

т. е. (поскольку между величинами не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами) при условии что

либо, что то же (поскольку мы не различаем члены, содержащие

Приравняем коэффициенты при одинаковых членах, содержащих в правых и левых частях уравнений (9). Для краткости я буду писать вместо вместо поскольку предполагается, что и буду по-прежнему обозначать через коэффициенты при в функции Единственное отличие состоит в том, что уравнения (10) уже не будут иметь тот же вид, что и раньше, поскольку необходимо учитывать члены, содержащие которые входят в правые части уравнений (9). В результате имеем

Чтобы эти уравнения были совместны, необходимо, очевидно, чтобы

и

Первое из этих условий должно выполняться автоматически, поскольку мы знаем, что рассматриваемое нами разложение возможно. Из второго условия получаем значение

Если эти условия выполняются, то уравнения не являются различными. Эти уравнения позволяют найти если известны. Я утверждаю, что коэффициенты можно выбирать произвольно и докажу это с помощью рассуждения, аналогичного тому, которое проводилось в п. 126. В самом деле, вид рядов не изменится, если приписать к произвольные функции от при условии что эти функции делятся на Число таких произвольных функций равно числу переменных; в случае пространственной задачи трех тел оно равно 12. Следовательно, этими функциями можно воспользоваться для того, чтобы удовлетворить 12 условиям. Например, с их помощью можно сделать средние значения , а также коэффициенты при в четырех функциям произвольными функциями от констант

Эти функции должны разлагаться по степеням Если члены такого разложения рассматривать по отдельности, то видно, что коэффициенты при различных функций можно выбирать произвольно. В частности, это относится и к коэффициентам

Таким образом, уравнения (9) позволяют определить

Найдем теперь Для этого воспользуемся вторым уравнением (8), где все члены, за исключением известны. Аналогичным образом найдем

Вычислим теперь с помощью уравнения (7,2,2) величину Это уравнение (ср. с уравнением (7,2,2) предыдущего пункта и с теми рассуждениями,

которые мы проводили, когда воспользовались этим уравнением для нахождения можно записать в виде

где А — полностью известная периодическая функция от Это уравнение можно проинтегрировать, если приравнять среднему значению периодической функции А так, чтобы среднее значение правой части было равно нулю. Аналогично определяются Остается определить последовательно при помощи тех же методов

из уравнений (7,3,3) и (7,4,3), из третьего уравнения системы (8), из уравнения (7,2,3) и т. д.