Предельный случай

215. Перейдем, наконец, к предельному случаю, когда равна максимуму

Замечу прежде всего, что мы всегда можем предполагать выполнение равенства

при

Следовательно, разложения функций по степеням не содержат члена нулевого порядка, а единственными членами первого порядка будут те, которые содержат

В самом деле, если бы это было неверно, то, совершив замену переменных пунктов 208 и 210, мы могли бы свести рассматриваемый случай к такому случаю, когда это предположение выполняется.

Отсюда следует, что если произвольным постоянным приданы следующие значения:

то мы приходим именно к предельному случаю, а функция S такова, что при производные имеют простой, а производные двукратный нуль. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что при вычислениях в пунктах 208 и 210 мы получили после замены переменных уравнения, полностью аналогичные уравнениям (3) п. 204, которые отличались от последних лишь тем, что входящие в них буквы имели штрихи, а все постоянные были равны нулю (ср. с изложенным в п. 208). Придадим теперь постоянным другие значения, близкие к нулю. Кроме того, постоянные можно выбрать так, чтобы была равна максимуму и выполнялись условия (28) п. 207, при этом функции по-прежнему будут конечными.

Значения удовлетворяющие этим условиям, представляют собой голоморфные функции от такие, что

Как мы только что видели, при

эти функции должны обращаться в нуль.

Итак, мы нашли функцию зависящую от произвольной постоянной

Эта функция имеет вид

где постоянная, можно разложить по синусам и косинусам линейных комбинаций

Кроме того, эта функция голоморфна по и если положить

то производная имеет при простой, а остальные производные двойной нуль.

Чтобы найти функцию зависящую от произвольных постоянных, я положу

Таким образом, я получу функцию 5, зависящую от постоянных

В силу сказанного в начале предыдущего пункта производные такой функции S будут иметь вид (а).

Можно высказать и некоторые другие утверждения. Пусть

— один из членов производных такой функции, приведенных к виду (а). Я утверждаю, что числитель А не зависит от

Это вытекает из того, что постоянные не зависят от

Чтобы доказать рассматриваемое утверждение, условимся для краткости говорить, что выражение имеет вид (а), если оно имеет вид (а) и если, кроме того, числитель А не зависит от

Предположим, что производные

приведены к виду (а). Тогда также имеет вид

В самом деле, правая часть уравнения в предыдущем пункте имеет вид (а), отсюда следует, что этим же свойством будут обладать и

Я утверждаю, что вид (а) будет иметь и

т. e. производная по от выражения, имеющего вид (а), также будет иметь вид (а). В самом деле, пусть

— такое выражение, где через я кратко обозначил

Производная имеет вид

Если А не зависит от X, то также не зависит от . С другой стороны, равен с точностью до постоянного множителя

Следовательно, производная этого квадрата

не зависит от Я и выражение (9) имеет вид (а), что и требовалось доказать.

Итак, правая часть уравнения предыдущего пункта имеет вид (а). Следовательно, вид (а) имеют также

Следовательно, функция S записывается в виде

Если постоянные

в этом выражении положить равными нулю, то будет нулем кратности для А и кратности для Это необходимо для того, чтобы производные имели двукратный, а производная простой нуль.

Установив это, рассмотрим следующие уравнения, аналогичные уравнениям (2) в

В этих выражениях после дифференцирования надлежит положить

Но ничто не мешает до дифференцирования положить

в первом уравнении

— во втором и

— в третьем уравнении.

Важно лишь не обращать в нуль до дифференцирования ту переменную, по которой проводится дифференцирование.

Из первого уравнения мы видим, что разлагаются по синусам и косинусам линейных комбинаций

с целыми коэффициентами.

Рассмотрим теперь третье уравнение Ясно, что если положить то S примет вид (8), и после дифференцирования мы получим

откуда

Последнее слагаемое в правой части можно разложить по синусам и косинусам линейных комбинаций

с целыми коэффициентами.

Перейдем ко второму уравнению Чтобы найти я продифференцирую уравнение (10), предварительно положив

Тогда

постоянная), ибо равно нулю.

Следовательно,

После дифференцирования положим Тогда при производная имеет простой нуль, А — нуль кратности нуль кратности . Отсюда следует, что правая часть уравнения (12) остается конечной, но величина, стоящая в правой части под знаком интеграла, при обращается в бесконечность, так что ее можно представить в виде

где конечная периодическая функция.

Сам интеграл при имеет логарифмическую расходимость. Под этим я понимаю, что его можно представить в виде

где некоторая функция, зависящая от и не обращающаяся в бесконечность при всех значениях постоянная. Итак,

где — новая постоянная, — функция, допускающая разложение по синусам и косинусам линейных комбинаций

откуда

Теперь речь пойдет о том, чтобы воспользоваться уравнениями (11) и (13) и выразить у через

Разложив правые части уравнений (11) и (13) по степеням найдем первые члены разложения.

В правой части уравнения (13) член, не зависящий от будет равен нулю; в правой же части уравнения такой член будет равен

Что же касается членов, содержащих то в правых частях уравнений (11) и (13) они равны соответственно

Относительно первой из этих величин я замечу лишь, что она зависит только от и не зависит от

Что же касается второй величины, то, положив после дифференцирования получим

Установив это, рассмотрим правые части уравнений (11) и (13).

Они представляют собой функций, зависящих от функциональный определитель А этих функций по делится на Однако если поделить его на затем (после деления) положить, то этот функциональный определитель будет равен

В силу того, что никогда не обращается в бесконечность, это выражение не обращается в нуль ни при каком наборе значений у.

Следовательно, А не обращается в нуль и при достаточно малом

Однако может обращаться в бесконечность. В самом деле, при правые части уравнений (11) и (13) обращаются в бесконечность.

Отсюда следует, что если придавать всевозможные значения, а изменять от 0 до то не изменит знака.

Возьмем для простоты

так, что уравнения (11) и (13) запишутся в виде

Ввиду наличия логарифмического члена изменяются от — до если изменяется от 0 до

Итак, придавая переменным всевозможные значения, а значения от 0 до мы получим всевозможные значения Кроме того, мы видели, что при этих условиях определитель А не меняет знака.

Следовательно, у являются однозначными функциями от при всех вещественных значениях В самом деле, исходя из уравнений (11) и (13) и применяя теорему п. 30, можно разложить у по степеням

где некоторые постоянные, поскольку функциональный определитель в нуль никогда не обращается.

Добавлю, что

являются периодическими функциями от

В самом деле, если заменить на то перейдет в Далее, из первого уравнения мы видим, что также представляют собой однозначные функции от периодические относительно

Если стремится к стремится к 0 или к Необходимо рассмотреть, во что переходят уравнения и (13), если, например, положить

Уравнение (13) теряет смысл. Уравнение (11) запишется в виде

Отсюда мы получим в виде функций от 1 аргумента

Нетрудно видеть, кчто разность периодична относительно Итак, пусть

Если в первом уравнении положить , то оно примет вид

Следовательно, полагая

мы находим частное решение уравнений

Смысл уравнений (14) очевиден. В п. 209 мы обобщили понятие периодического решения. В самом деле, мы выписали инвариантные соотношения

В рассматриваемом случае эти инвариантные соотношения в силу предположения, сделанного в начале данного пункта, примут вид

В этих соотношениях мы узнаем три первых уравнения (14).

Таким образом, четыре уравнения (14) доставляют нам в новом виде обобщение периодических решений. Очевидно, что и у — представлены в виде периодических функций от аргумента

В том частном случае, когда имеется только две степени свободы, остается только один аргумент

Тогда оказываются периодическими функциями от и, следовательно, от времени. В этом случае мы приходим просто к периодическим решениям, определенным в главе III.

Замечательным следствием этого обстоятельства является то, что в случае двух степеней свободы разложения (14) сходятся, в то время как при числе степеней свободы, большем двух, они имеют смысл лишь с точки зрения формального анализа.

216. Рассмотрим, в частности, что происходит, если отрицательно и очень велико. Соответствующие значения будут очень малыми, следовательно, правую часть уравнения (11) можно будет разложить по возрастающим степеням

Что же касается уравнения (13), то мы преобразуем его следующим образом:

Если положительна (для большей ясности я так и буду предполагать) и если имеет очень большое отрицательное значение, то экспонента

будет очень мала. Что же касается правой части уравнения то ее можно будет разложить по степеням

Итак, запишем наши уравнения в виде

Если разложить по степеням каждый из членов разложения будет периодическим относительно

Итак, можно считать, что обе части уравнений и разложены по степеням

Заметим, что величину а можно разложить по степеням Пусть

— первый член этого разложения. С другой стороны, первый член разложения и будет содержать так что разложения начинаются с члена, не зависящего от

Если в уравнениях и положить то они запишутся в виде

Функциональный определитель правых частей этих уравнений по при будет равен 1. Это позволяет нам применить теоремы

Отсюда следует, что при всех значениях

переменные у можно будет разлагать по степеням и Коэффициенты этих разложений будут функциями от

Чтобы найти вид этих функций, заметим, что если переходит в то и? к перейдет также в

Мы заключаем, что

допускают разложение в ряд по степеням

коэффициенты которого будут периодическими функциями от

Далее из первого уравнения непосредственно видно, что х можно разлагать в ряды того же вида.

Мы предполагали, что большое отрицательное число, а мало отличается от нуля. Если теперь вместо этого предположить, что положительно и очень велико, а мало отличается от то мы придем к тому же результату. Единственное отличие будет заключаться в том, что ряды будут расположены не по

а по

Обратимся снова к тому случаю, когда отрицательно и очень велико, а мало отличается от нуля, и предположим, что имеются лишь две степени свободы.

В этом случае мы имеем только два аргумента

и наши ряды располагаются по степеням и по синусам и косинусам дуг, кратных Поскольку аргументы линейно зависят от

времени, наши ряды будут расположены по степеням и экспоненты, показатель которой пропорционален времени, причем коэффициенты различных членов являются периодическими функциями времени. Следовательно, наши ряды ничем не отличаются от рядов, рассмотренных в главе VII, которые определяют асимптотические решения.

Отсюда ясно, что результаты главы VII применимы и в нашем случае. Если рассматриваемые ряды будут по-прежнему располагаться по степеням и экспоненты, то они не будут сходиться. Поэтому эти ряды будут иметь смысл только с точки зрения формального анализа. Если же их расположить по возрастающим степеням одной лишь экспоненты (объединяя, следовательно, в один член все те, которые содержат одну и ту же степень экспоненты, но разные степени , то ряды станут сходящимися. Если ту же операцию произвести в том случае, когда число степеней свободы больше двух, то ряды сходящимися не станут.

217. В начале п. 215 я высказал несколько предположений по поводу функции Я предположил, что

при

Кроме того, я заметил, что если функция не удовлетворяет этим условиям, то достаточно произвести замену переменных пунктов 208 и 210, чтобы эти условия оказались выполненными.

Итак, предположим, что функция не удовлетворяет этим условиям. Произведем указанную в п. 210 замену старых переменных и на новые переменные Имеем

(ср. с началом п. 210).

Заключения двух последних пунктов остаются в силе и в новых переменных, следовательно,

можно представить в виде рядов, расположенных по степеням и косинусам и синусам линейных комбинаций

коэффициенты которых по определяются однозначно. Эти однозначные функции разлагаются, когда достаточно велико, по степеням если отрицательно, и по степеням если положительно.

Следовательно, соотношения (1), связывающие переменные с переменными позволяют заключить, что и

разлагаются в ряды того же вида.

Единственное отличие этих рядов состоит в том, что при равны 0, в то время как х в нуль не обращаются. Если положить то откуда

где и означают ряды, расположенные по степеням и тригонометрические по линейным комбинациям

Исключая из соотношений (2), мы должны получить

т. е. соотношения п. 209. Если имеются лишь две степени свободы, то соотношения (2) представляют собой не что иное, как периодическое решение (ср. с п. 208).

Аналогично, если положить

то мы получим

Ряды, изучением которых мы занимались в этой главе, можно было бы получить непосредственно с помощью методов, аналогичных методам глав XIV и XV. Несмотря на интерес, который представляет такой подход, я не могу останавливаться на нем, ибо это завело бы нас слишком далеко. Упомяну лишь, что нашу задачу заменой переменных, указанной в п. 206, можно свести к задаче п. 134, к которой методы глав XIV и XV применяются непосредственно.