Кеплеровское движение

8. Применим изложенные выше принципы к кеплеровскому движению. В дальнейшем мы всегда будем предполагать единицы выбранными так, что сила притяжения двух единиц массы, удаленных друг от друга на единицу расстояния, равна единице силы, другими словами, что постоянная Гаусса равна единице.

Итак, ркосмотрим движение подвижной массы под действием неподвижной массы, расположенной в начале координат и равной М. Пусть — координаты подвижной массы, а — составляющие скорости; если мы положим

то уравнения движения запишутся в виде

В силу п. 3, интегрирование этих уравнений сводится к интегрированию уравнения в частных производных

— произвольная постоянная. Положим

Уравнение примет вид

Можно удовлетворить этому уравнению, введя две произвольные постоянные и положив [4]

Функция определенная таким образом, будет зависеть от или, что то же самое, от а общее решение уравнений (1) запишется в виде

где — три новые произвольные постоянные. Если мы положим

то сможем записать:

Тогда будет шесть постоянных интегрирования, а именно:

Легко установить значение этих постоянных и выразить их в виде функций тех постоянных, которые обычно используются. Если и обозначают большую полуось, эксцентриситет и наклонение, то

С другой стороны, — долгота восходящего узла, — долгота перигелия, — среднее движение, не что иное, как средняя аномалия.

Если на движущуюся массу действует не притяжение массы М, а какие-нибудь другие силы, мы можем построить функцию S и определить шесть новых переменных

являющихся функциями и с помощью следующих уравнений:

причем и 0 не будут больше постоянными. Мы можем воспользоваться теперь шестью переменными (4) для определения положения и скорости подвижной массы. Назовем эти переменные (4) кеплероескими переменными. Важно заметить, что определение кеплеровских переменных зависит от начала отсчта координат движущейся массы и от величияы М.

Если движущаяся масса является планетой, на которую преимущественно действует масса М, а также различные возмущающие силы, то можно видеть, что кеплеровские переменные являются тем, что астрономы называют о окулирующими элементами данной планеты.

В частном случае, когда орбита тела является плоской, можно принять за новые переменные

со средней аномалией I и долготой перигелия Число кеплеровских переменных равно тогда четырем.

По поводу использования кеплеровских переменных следует сделать несколько замечаний. Отметим сначала, что старые переменные

и положение тела не изменяются, когда или 0 возрастают на а остальные переменные не меняются. Таким образом, эти старые переменные являются периодическими функциями переменных .

Затем, всегда должно выполняться соотношение

Наконец, если то старые переменные и положение тела не зависят больше от 0, а если то они не зависят больше от