Уравнение вариации

196. Уравнение (5а) п. 169, т. е. уравнение вариации, записывается в виде

где С — постоянная, совокупность малых членов, зависящих по предположению только от

Пусть

тогда

где функция А зависит от причем значения ее малы. В силу малости значений А, ее можно представить в виде

где а — малый коэффициент, и попытаться разложить по возрастающим степеням а.

Итак,

Отсюда видно, что уравнение (1) является частным случаем уравнения

где некоторые функции, малый коэффициент.

То же относится и к уравнению , которое можно записать в виде

где В означает сумму малых членов. Можно считать, что В с помощью методов пунктов 170—172 преобразовано так, что содержит лишь

Следовательно, это уравнение также имеет вид уравнения (2), к изучению которого мы только что приступили.

Прежде чем идти дальше, следует сделать одно замечание. Рассмотрим уравнение (1) п. 191.

Решение этого уравнения мы пытались разложить по степеням а. В главе XVI мы ставили задачу совершенно иначе. Тогда мы говорили, что в правую часть этого уравнения вместо х следует сначала подставить 0, затем первое приближенное значение и т. д.

Но нетрудно видеть, что оба эти метода последовательных приближений сводятся к одному и тому же. Действительно, если в этом уравнении положить то

Новое уравнение допускает в качестве решения т. е. именно то значение х, которое было выбрано в качестве первого приближения. Также

.обстоит дело и с уравнением (6с) п. 169, которое можно записать в виде

Если то частным решением этого уравнения может быть Именно это значение и было взято в качестве первого приближения в главе XVI.

Итак, оба метода последовательных приближений эквивалентны. Совершенно иначе обстоит дело с уравнением (1), которое мы привели к виду

При это уравнение переходит в уравнение

Очевидно, что уравнение (3) имеет частное решение

Но в главе XVI в качестве первого приближения мы приняли не

а

откуда

что, очевидно, не является решением уравнения (3).

Описанные выше методы последовательных приближений не являются абсолютно эквивалентными. В виду малости коэффициента С в качестве первого приближения можно взять вместо какое-нибудь решение уравнения (3), причем это не приведет к значительному замедлению скорости сходимости. Именно так и поступал Гильден.

Итак, рассмотрим уравнение (2)

Так же, как и в , я буду предполагать, что периодическая функция относительно

с периодом и введу обозначения

Аналогично

Если положить

то уравнение (2) можно заменить каноническими уравнениями

Эти уравнения формально можно проинтегрировать следующим образом. Наши переменные допускают разложение по степеням а, причем коэффициенты разложения оказываются периодическими функциями с периодом от параметров

где

Ясно, что так же, как в п. 194, необходимо положить

Что же касается величины то ее можно разложить по степеням а.

Результаты п. 193 можно сформулировать следующим образом. Если аналогичная задача имеет решение при то она также имеет решение и при .

Если то наше уравнение записывается в виде

Оно очень легко интегрируется в квадратурах

Величины являются функциями от и постоянной интегрирования они периодические с периодом по зависит от а — новая постоянная интегрирования.

Если сформулированная нами задача имеет решение при то она также будет иметь решение при .

Остается найти его эффективно.

Для этого я перепишу уравнение (2) с учетом того, что х зависит от во-первых, непосредственно и, во-вторых, через Таким образом, я буду следовать методу, аналогичному методу п. 192.

Я найду

Вместо подставлю их разложения по степеням а

и приравняю коэффициенты при одинаковых степенях а. При этом получатся следующие уравнения:

Через Ф я обозначил известную функцию от Правая часть уравнения (8) известна, поскольку найдены из уравнения (7); правая часть уравнения (9) известна, поскольку определены с помощью уравнений (7) и (8), и т. д.

Уравнение (7) приводится к уравнению (5), следовательно,

где со — функция от постоянной периодическая по

Рассмотрим теперь уравнение (8). Если известно, то его можно записать в виде

Это линейное неоднородное уравнение. Следовательно, необходимо. рассмотреть соответствующее ему однородное уравнение

Это уравнение имеет частное решение

Так же, как в п. 192, положим

Определитель будет равен некоторой постоянной, которую я обозначу к. Заметим, между прочим, что эти уравнения записаны так, как если зависели одновременно и от и от тогда как в действительности они зависят лишь от Следовательно, многие члены в этих уравнениях равны нулю.

Пусть у и две величины, определяемые уравнениями

Положим для краткости

Уравнение можно заменить двумя уравнениями:

откуда

Эти уравнения можно интегрировать с помощью того же метода, что и аналогичные уравнения , причем никаких трудностей не возникает, если только средние значения равны нулю.

Таким образом, и выбирают так, чтобы одно из этих средних значений обратилось в нуль, а второе обращается в нуль автоматически, поскольку заранее известно, что задача разрешима.

Уравнение (9) и последующие уравнения решаются аналогично.

В некоторых частных случаях интегрирование уравнения (5) приводит к эллиптическим функциям. Так происходит, например, если полином третьей степени относительно х или если некоторая постоянная, умноженная на т. е. в случае уравнений (6с) и (5а) п. 169.

Выводы

197. В предыдущих пунктах я больше стремился разъяснить сущность методов Гильдена, чем скрупулезно воспроизводить его изложение. Мне остается изложить собственную точку зрения на то, как следует оценивать эти методы.

Всякий раз, когда отношение средних движений не слишком близко к рациональному, методы Ньюкома, изложенные в главах IX—XV, становятся более простыми и по существу более удовлетворительными (в особенности, если иметь в виду внесенные мной в эти методы усовершенствования), чем методы Гильдена.

Поэтому дальнейшее изучение методов Гильдена становится излишним. В самом деле, даже в тех случаях, когда отношение средних движений мало отличается от рационального, методы, изложенные в главах IX—XV, остаются в силе. Для рассмотрения этих случаев Гильден разработал методы, аналогичные тем, которые позволяют получить результаты в более простых условиях, и достиг успеха.

Необходимо тем не менее постичь основную идею методов Гильдена как для того, чтобы иметь возможность их непосредственного использования, так и для того, чтобы использовать их как удобное средство открытия новых теорий, по той или иной причине более удовлетворительных, чем ныне существующие.

Эту идею можно выразить одним словом. Если какой-нибудь член становится очень большим и замедляет сходимость, то его следует учесть в первом приближении.