Сравнение с рядами п. 127

218. В п. 211 мы видели, как можно ряды п. 204 и последующих вывести из рядов п. 125. Я намереваюсь рассмотреть вопрос о том, каким образом ряды настоящей главы можно вывести из рядов п. 127.

Для начала разберем более простой случай, а именно случай Уравнения можно тогда записать (опуская ненужный нам индекс 1) в виде

Здесь означает вещественный период интеграла, стоящего в правой части. Эти уравнения позволяют вычислить у в виде функции аргументов постоянной

Если предположить, что много меньше С, то разложение можно производить по возрастающим степеням 11 и мы получим ряды . Наоборот, если С сравнима с то мы положим и при этом снова получим ряды, подробно рассмотренные в настоящей главе.

Разберем полученный результат более детально. Из уравнений (1) видно, что у являются двоякопериодическими функциями от или, что то же, от Пусть и Два периода мы считаем независимой переменной). Например, период равен интегралу в правой части, взятому в пределах от 0 до равен тому же интегралу, взятому в пределах и умноженному на 2. Кроме того, переменная у не изменяется при замене на а замене на переменная у переходит в

Если то период веществен и следует взять В этом случае х представляют собой периодические функции от периода Если параметр очень мал по сравнению с С, то разложение можно проводить по степеням (что приводит к рядам , причем каждый член такого разложения будет периодическим с периодом относительно

Однако если постоянная С имеет тот же порядок величины, что и и мы положили то при том же значении период и коэффициент 0 будут пропорциональны Следовательно, если обозначить

то уравнения (1) запишутся в виде

Второе из этих уравнений не зависит более от Из этих уравнений мы найдем в виде рядов, расположенных по синусам и косинусам дуг, кратных Эти ряды зависят от но не зависят от а. Именно эти ряды и рассматривались в настоящей главе.

В самом деле, полученные ранее ряды были расположены по степеням а. Они аналогичны рядам п. 127 и, как нетрудно видеть, имеют следующий вид:

где не зависят ни от ни от С и периодичны (период относительно

Если затем положить то у и как я уже говорил, будут зависеть только от а не от

Итак, чтобы перейти от рядов п. 127 к рядам, рассмотренным в настоящей главе, необходимо положить а результат этой подстановки расположить по возрастающим степеням В рассматриваемом нами частном случае полученное таким образом новое разложение будет состоять из одного члена, ибо х содержит лишь члены первого порядка относительно а у не содержит членов, зависящих от

Если , то величина вещественна, а х являются периодическими функциями от с периодом Однако если то величина становится мнимой, а вещественной будет вследствие чего необходимо положить В этом случае периодическими функциями от с периодом будут (но не w).

Если в качестве независимой переменной мы примем то определение величины 0 будет меняться, если будет переходить от значений больших единицы к значениям меньшим единицы. Это неудобство можно обойти, если считать независимой переменной

В самом деле, если представить х и у в виде функций, зависящих от то выражения, получающиеся при будут аналитическими продолжениями выражений, получающихся при .

Итак, взяв ряды (2), т. е. ряды п. 127, и положив получим

Эти ряды сходятся, если достаточно велико. В этом случае можно найти их сумму. Если же эти ряды расходятся, то функции у можно все же продолжить аналитически. При этом мы придем к значениям меньшим 1, а вид самих функций полностью изменится, ибо вещественный период станет мнимым, и наоборот.

Таким образом, именно двоякая периодичность объясняет столь различное поведение функций, с которыми мы столкнулись при рассмотрении задачи: период, вещественный в обычном случае, становится мнимым в случае либрации, и наоборот. В предельном случае один из периодов обращается в бесконечность.

Можно поставить вопрос о том, каким образом эти результаты можно обобщить на случай, когда где произвольная функция, зависящая только от у и притом периодически. Уравнения (1) запишутся тогда в виде

Пусть максимальное значение равно А. Если

то мы получаем обычный случай, если же

то случай либрации.

При сделанных предположениях относительно функции ни х, ни не будут эллиптическими функциями от Следовательно, они не будут однозначными и двоякопериодическими функциями при всех вещественных и мнимых значениях (хотя, разумеется, будут по-прежнему однозначными функциями при всех вещественных значениях

Тем не менее предыдущие результаты остаются в силе.

Для наших целей будет достаточно, если мы ограничимся рассмотрением области такой, что мнимая часть будет достаточно малой, а с другой стороны, постоянная С будет достаточно мало отличаться от

Если теперь у рассматривать как функции от и от С (или от а и от то эти функции будут однозначными и двоякопериодическими, лишь бы мы не выходили за пределы области Один из периодов равен интегралу, стоящему в правой части второго соотношения взятому в пределах от 0 до а второй — удвоенному этому же интегралу, взятому в пределах от одного значения при котором становится равным С, до другого значения при котором снова

Этого достаточно для того, чтобы переход от обычного случая к случаю либрации происходил так же, как и в частном случае, рассмотренном нами вначале.

Чтобы облегчить перенесение этих результатов на общий случай, удобно ввести среднее движение которое я буду обозначать здесь просто поскольку индекс 1 не играет роли и будет всюду опускаться.

В силу принципов, изложенных в п. 3, имеем

С другой стороны, если разложить по степеням как мы уже делали раньше, так что

то при

откуда

Следовательно, мы можем принять в качестве независимых переменных вместо

В этих переменных ряды (2) будут разлагаться по степеням а и что делает их похожими на ряды, рассмотренные в п. 201, которые содержали члены вида

Перейдем, наконец, к общему случаю.

Рассмотрим ряды п. 127. Они представляют собой выражения переменных в виде функций аргументов

постоянных интегрирования. Выберем в качестве этих постоянных интегрирования, например, величины, которые мы обозначили символами

В рядах, расположенных по целым степеням в знаменателях фигурируют малые делители

Предположим теперь, что один из этих делителей становится очень малым. Пусть таким делителем будет (ибо если бы это был другой делитель, то достаточно было произвести только замену переменных, указанную в п. 202). Рассмотрим прежде всего, каков максимальный показатель встречающийся в знаменателях членов нашего ряда.

В силу сказанного в пунктах 201 и 211, разложение функции S не содержит членов

где

Если записать затем уравнения

то в производную будут входить лишь члены но в произ водную прочих будут входить и члены

т. е. члены

Из уравнений

мы найдем в виде функций от и или, если угодно, в виде функций от постоянных интегрирования

Отсюда видно, что разложение у содержит лишь члены

Подставим затем полученные выражения для переменных у в уравнения

В результате подстановки правая часть уравнений (3) будет содержать лишь члены

Пусть

— один из таких членов, причем функция при не обращается в бесконечность. После указанной подстановки

где функции при в бесконечность не обращаются.

Итак, общий член в правой части уравнений (3) после такой подстановки будет иметь вид

и очевидно, что

Общий вывод из всего сказанного состоит в том, что разложения п. 127, определяющие содержат лишь члены

а разложения для у — члены вида

где

Установив это, предположим, что величина очень мала и имеет тот же порядок, что

где а — новые постоянные. Именно так мы поступали в . Например, можно положить

В результате такой подстановки член

не будет более иметь относительно порядок а будет иметь порядок

Сгруппируем затем члены наших рядов, имеющие одинаковые порядки относительно Каждая из таких групп членов образует некоторый частичный ряд, а весь ряд в целом есть сумма всех таких частичных рядов.

Чтобы получить ряды настоящей главы, достаточно просуммировать каждый из этих частичных рядов. Если постоянная достаточно велика, то частичные ряды сходятся (разумеется, весь ряд будет по-прежнему расходящимся и имеет смысл лишь с точки зрения формального анализа). Однако если слишком мала для того, чтобы частичные ряды сходились, то, как нетрудно понять, можно найти их сумму с помощью аналитического продолжения.

Дело обстоит так же, как и в случае функции

задаваемой с помощью ряда

которая будет иметь смысл и после того, как ряд станет расходящимся.

Итак, рассмотрим сумму одного из таких частичных рядов. Во-первых, эта сумма будет периодической с периодом относительно Во-вторых, эта сумма будет зависеть еще от одного аргумента 0, причем при вещественных значениях этого аргумента и при тех его значениях, мнимая часть которых достаточно мала, или, иначе говоря, если аргумент остается внутри некоторой области, охватывающей всю вещественную ось, эта зависимость будет однозначной. Если а! меняется в определенных пределах, то функция, описывающая указанную зависимость, внутри этой области будет однозначной и двоякопериодической. Один из периодов будет вещественным, другой — мнимым. При некотором значении один из периодов обращается в бесконечность, затем вещественный период становится мнимым, и наоборот.

Именно это и обусловливает переход от обычного случая к случаю либрации.