Обобщение метода главы IX на некоторые особые случаи

134. Рассмотрим теперь случай, когда содержит не все из переменных

Предположим для ясности, что имеется три степени свободы и что содержит две переменные первого ряда и не содержит третьей переменной Отсюда следует, что

Мы по-прежнему предполагаем, что

где функция от периодическая по

Я буду пока считать функцией только от Эта функция периодична по этим двум переменным, и я обозначу через ее среднее значение, зависящее от

Сначала я рассмотрю случай, когда зависит от и не зависит от

Попытаемся найти функцию

имеющую тот же вид, что и функция рассмотренная в п. 125, и удовлетворяющую формально уравнению

где С — константа, которую можно записать в виде

Здесь произвольные постоянные.

Положим сначала

Константы будут связаны соотношением

Но поскольку константа произвольна, в свою очередь оказываются произвольными.

Затем я положу

Тогда

где произвольная функция, зависящая от которую еще нужно определить. Приравняв в уравнении (4) коэффициенты при мы так же, как и в , получим

Какова бы ни была произвольная функция правая часть уравнения (5) будет периодической функцией от а среднее значение этой функции будет

Мы хотим, чтобы функция имела следующий вид:

Для этого необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правой части уравнения (5), как мы видели в , было равно некоторой константе, которую обозначим Тогда для нахождения произвольной функции получаем следующее уравнение:

Я предположил выше, что не зависит от Поэтому для того, что бы удовлетворить уравнению (6), достаточно взять

константа, которую пока можно считать произвольной, поскольку произвольна константа Следовательно,

Приравняв в уравнении (5) средние значения правой и левой частей, получим

Поскольку константа произвольна, я положу что позволит мне так же, как и в п. 125, выбрать

Тогда функцию S с точностью до слагаемого, зависящего только от можно будет найти из уравнения (5).

Установив это, предположим, что функции

определены полностью и что х вычислена с точностью до зависимости от Предположим, что требуется довести до конца отыскание функции и вычислить с точностью до зависимости от

Приравняв коэффициенты при в обеих частях уравнения (4), получим

где функция, зависящая лишь от переменных у, производных от функций а также от Функции известны. Функция известна с точностью до слагаемого, зависящего только от следовательно, известны производные Поэтому и можно считать известной функцией от у, причем эта функция периодическая.

Если задана некоторая периодическая функция зависящая от то через мы будем обозначать среднее значение этой функции, вычисляемое в предположении, что зависит лишь от Отсюда следует, что зависит от

Очевидно, что так же, как и раньше, среднее значение правой части уравнения (7) должно быть равно некоторой константе откуда

Так как не зависит от то

откуда

Если известна с точностью до функции, зависящей от то мы знаем функцию

Следовательно, правая часть уравнения (8) полностью известна. С другой стороны, известная функция от в которой эти переменные заменены известными константами Следовательно, нам известна производная и мы можем найти из уравнения (8) производную а проинтегрировав ее, и функцию

Так как периодическая функция от среднее значение правой части уравнения (8) должно быть равно нулю; мы всегда можем добиться этого, подбирая произвольную постоянную

Таким образом, отыскание функции полностью закончено. После этого уравнение (7) позволяет нам найти функцию с точностью до произвольной функции, зависящей от Для того чтобы функция найденная из уравнения (7), была периодической по необходимо, чтобы среднее значение правой части этого уравнения было равно нулю. В самом деле, это среднее значение равно и поскольку постоянная остается произвольной, мы можем выбрать

Итак, функции всегда можно определить с помощью рекуррентных соотношений. Следовательно, остаются в силе выводы . Единственное различие состоит в том, что разложение по степеням вместо того, чтобы начинаться со свободного члена, начинается с члена, зависящего от

Предположим теперь, что имеется четыре степени свободы и восемь переменных и что функция зависит лишь от от

Те же самые выводы остаются в силе и в этом случае, если только:

1) между (т. е. между не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами;

2) не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами и между

В самом деле, уравнение, аналогичное уравнению (8), с помощью которого мы нашли запишется в виде

Для того чтобы это уравнение можно было разрешить относительно функции периодической по необходимо и достаточно, чтобы между не существовало никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами.

135. Мы предполагали, что зависит лишь от переменных первой серии (предполагая, как мы делали в конце предыдущего параграфа, что имеется четыре степени свободы и что зависит только от

Предположим теперь, что зависит не только от но еще и от

Если вместо подставить константы и вместо подставить а затем приравнять какой-нибудь константе то получится следующее уравнение:

которое определяет функцию Т двух переменных

Предположим, что можно найти функцию Т, удовлетворяющую этому уравнению и зависящую помимо прочего от двух констант и и двух новых постоянных интегрирования, которые я обозначу

Тогда функция

будет удовлетворять уравнению

Кроме того, соотношения

определят некоторую замену переменных; старыми переменными будут а новыми —

Как мы видели в п. 4, эта замена переменных не изменит канонической формы уравнений. Нетрудно видеть, что

и, следовательно, после этой замены функция будет зависеть только от .

Если функция такова, что являются функциями от периодическими по (а именно это мы и предположим), то функция после этой замены переменных будет периодической по

Обозначим через среднее значение рассматриваемой как периодическая функция от Я утверждаю, что если мы после указанной замены переменных будем рассматривать как периодическую функцию от то ее средпее значение по-прежнему будет равно

В самом деле, по определению

и мне остается лишь доказать, что

Действительно,

однако в соотношения

переменные а также не входят. Именно это и доказывает, что если выразить новые переменные через старые переменные то они не будут зависеть ни от ни от

Следовательно, если подставить в Т вместо их выражения через то мы получим

откуда

и точно так же

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Кроме того, величина которая должна быть константой, может зависеть лишь от постоянных интегрирования, т. е. от так что силу уравнения (1)] будет зависеть лишь от

Следовательно, мы приходим к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте, и должны заключить, что каноническим уравпениям

можно формально удовлетворить рядами следующего вида:

где константы, периодические функции от зависящие также и от постоянных интегрирования других постоянных интегрирования и, наконец, величины зависят также и от констант

Возвращаясь к исходным переменным, мы видим, что каноническим уравнениям

можно удовлетворить формально, рядами следующего вида:

коэффициентами служат периодические функции от

Что же касается коэффициента то может быть равен 0 или 1. Он всегда равен 1 при или 2; он равен 1 либо 0 при в зависимости от того, что периодически зависит от или он равен

1 либо 0 при в зависимости от того, будет ли либо периодичны

Следовательно, все сводится к интегрированию уравнения с частными производными (1) или, что то же, к интегрированию канонических уравнений