Глава VII. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
104. Пусть
— система 
дифференциальных уравнений, X — функции 
Они разлагаются в степенные ряды по х и периодичны по 
с периодом 
Пусть
— частное периодическое решение этих уравнений; 
будут периодическими функциями 
с периодом 
Положим
Получим
где Н будут функциями 
периодическими по 
и разложимыми в ряд по степеням 
но в разложении не будет содержаться члена, не зависящего от 
Если 
очень малы и мы пренебрегаем их квадратами, то уравнения (2) сводятся к уравнениям
которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).
Они линейны и имеют периодические коэффициенты. Известен вид их общего решения, а именно:
где А — постоянные интегрирования, а — фиксированные константы, называемые характеристическими показателями, ф - периодические функции 
Тогда, если положим
уравнения (2) примут вид
где 
функции от 
того же вида, что и S.
Мы можем далее записать
где 
представляет множество членов 
степени 
по 
Что касается уравнений (3), то они примут вид
Попытаемся найти теперь вид общих решений уравнений (2) и (2). Я утверждаю, что мы должны найти функции, разложенные в ряд по степеням 
коэффициенты которых периодические функции от 
Мы можем тогда записать
где 
представляет множество членов 
степени 
по А.
Заменим 
их значениями в 
и найдем
где 
обозначает множество членов степени 
по 
Мы найдем тогда
Эти уравнения позволят последовательно вычислить
В самом деле, 
зависит лишь от 
Если мы предположим, что эти величины были заранее вычислены, то сможем записать 
в следующем виде:
где 
положительные целые числа, сумма которых равна 
периодическая функция.
Можно еще записать
где С — вообще говоря, комплексный коэффициент, а у — положительное или отрицательное целое число. Для краткости положим
тогда получим
Но этому уравнению можно удовлетворить, полагая
Исключение составляет случай, когда
В этом случае в формулах возникнут члены с 
Рассмотрение этого частного случая мы отложим.
