входит явно в эти функции 
либо, наоборот, что функции 
зависят не только от 
но еще и от времени 
в последнем случае X, должны быть периодическими функциями ?.
Предположим, что эти уравнения (1) допускают периодическое решение
Возьмем это решение за порождающее и образуем уравнения в вариациях (см. п. 52) уравнений (1), положив
и пренебрегая квадратами 
.
Эти уравнения в вариациях запишутся в виде
Они линейны относительно 
и их коэффициенты 
(где заменены на 
являются периодическими функциями 
Итак, нам надо проинтегрировать линейные уравнения с периодическими коэффициентами.
В п. 29 мы видели, какова в общем случае форма интегралов этих уравнений; мы получаем 
частных интегралов следующего вида:
где 
постоянные 
периодические функции от 
того же периода, что и 
Постоянные а называются характеристическими показателями переодического решения.
Если а чисто мнимое, так что его квадрат отрицателен, то модуль 
есть постоянная, равная единице. Если, напротив, а действительное или если а такое комплексное число, что его квадрат не является действительным, то модуль 
стремится к бесконечности при 
или 
Итак, если все а имеют действительные и отрицательные квадраты, величины 
остаются конечными; я скажу тогда, что периодическое решение 
устойчиво; в противном случае я скажу, что это решение неустойчиво.
Интересным частным случаем является случай, когда два или несколько характеристических показателей равны между собой. В этом случае интегралы уравнений (2) уже нельзя записать в виде (3). Если бы,
например,
то уравнения (2) допускали два частных интеграла вида
и
где 
и 
периодические функции 
(см. п. 29).
Если бы три из характеристических показателей были равны между собой, то вне знаков тригонометрических и экспоненциальных функций могло бы появиться не только 
но и 
.
-данные функции от 
Мы можем предполагать либо, что время 
не
