Глава XVII. СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

177. Нам осталось еще следующее.

1. Проинтегрировать уравнения (6а), (6Ь), (6с), (5а), (а) и ((3) п. 169.

2. Посмотреть, каким образом в этих уравнениях можно отличать члены, которые надлежит перенести в левую часть, от тех, которые следует оставить в правой части.

Сначала я займусь интегрированием уравнений (6а) и Этой задаче посвящается настоящая глава.

Уравнение имеющее более общий вид, можно записать так

Здесь считается известной функцией от Это линейное неоднородное уравнение, интегрирование которого сводится к интегрированию однородного уравнения.

Если преобразовать это уравнение, изменяя обозначения и полагая

то оно примет вид

Исследование уравнения Гильдена

178. Итак, рассмотрим уравнение [47]

Мы видели, что Гильдену в его исследованиях приходилось рассматривать следующее уравнение (ср. уравнения (а) и () п. 169):

функция, допускающая разложение по степеням х и периодическая по

В тех приложениях, в которых Гильдену приходилось иметь дело с этим уравнением, главные члены имели вид

где периодическая функция, зависящая только от Остальными членами в первом приближении можно было пренебречь.

Уравнение (2) можно заменить уравнением

Это линейное неоднородное уравнение. Его интегрирование, как известно, легко сводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения (1).

Итак, рассмотрим уравнение (1). Что можно сказать о нем, исходя из общих результатов о линейных уравнениях, полученных в первом томе (гл. II, п. 29 и различные пункты гл.

Прежде всего известно, что уравнение (1) имеет два частных решения вида

где периодические по функции с периодом я, а два характеристических показателя равны по величине и имеют противоположные знаки.

Чтобы сделать следующий шаг, нам потребуется одна общая теорема, доказанная мною в мемуаре о системах линейных уравнений («Acta mathematica», т. IV, стр. 212) [48].

Пусть имеется линейное уравнение следующего вида:

Коэффициенты являются функциями не только от х, но и от некоторого числа параметров, от которых они зависят линейно.

Предположим, например, что имеется три таких параметра, и обозначим их . Функция будет иметь вид

Функции также, как и все их производные, непрерывны внутри некоторой области за пределы которой мы не выходим.

Условившись об этом, зададим в точке начальные значения функции у и ее первых производных и будем изменять х от 0 до некоторого значения по определенному пути. Пусть то значение функции у, которое она принимает при Ясно, что зависит:

1) от начальных значений у и ее производных (причем зависит линейно);

2) от параметров А, В, С.

Теорема, о которой идет речь, заключается в том, что можно разложить в ряд по возрастающим степеням этот ряд будет сходиться при любых значениях . Иначе говоря, есть целая функция от этих трех параметров.

Применим эту теорему к уравнению (1).

Пусть частное решение этого уравнения, такое, что

[для краткости я обозначил через

Пусть второе частное решение, такое, что

Тогда, если начальные значения х и при то

Из нашей теоремы следует, что и являются целыми функциями от То же относится и к

В частности, предположим, что

тогда

и

Но функция периодическая, так что

откуда

и мы получаем

Таким образом. есть один из корней следующего уравнения относительно

Аналогично находим, что другой корень равен Следовательно, сумма корней равна так что

Отсюда следует, что является целой функцией от т. е. можно разложить по целым степеням и разложение всегда будет сходиться.

Теперь я утверждаю, что это разложение содержит лишь четные степени

В самом деле, если произвести замену на то решения

примут вид

где

— периодические функции от Следовательно, характеристические показатели не меняются.

Вместе с тем, так как

уравнение (1) записывается в виде

откуда видно, что характеристические показатели и, следовательно, не изменяются, если вместо подставить Однако это возможно лишь при условии, если разложение содержит лишь четные степени

Заметим теперь, что уравнение (1) не изменится, если произвести замену на Отсюда следует, что есть четная, нечетная

функция от t, т. е.

Но решения уравнения (1) разлагаются по синусам и косинусам аргумента где целое (положительное или отрицательное) число.

Отсюда следует, что содержит лишь косинусы, в то время как «одержит лишь синусы. Имеем

где изменяется от до Тогда

Следовательно,

179. Посмотрим теперь, каким образом можно получить разложение по возрастающим степеням

Предположим, что рассматривается более общая задача о разложении

Для нахождения мы располагаем серией следующих уравнений:

Кроме того, функции должны быть четными. При функция должна обращаться в 1, а остальные функции в 0.

Отсюда следует, что

и

Далее

где коэффициенты найти нетрудно. Отсюда находим

Кроме того, очевидно, что . Ясен общий закон написания

Поскольку функция должна быть четной, коэффициент при равный

содержит лишь одни синусы, если к нечетно, и лишь одни косинусы, если к четно.

Какие значения может принимать целое число В первом члене, а именно в

изменяется от до в коэффициенте при может изменяться от до ; в коэффициенте при может изменяться от до и т. д., так что к не может превзойти

С помощью уравнений (5) можно было бы найти рекуррентные соотношения между коэффициентами однако пока я не буду останавливаться на этом.

Если положить то

и первый член обратится в нуль, так что

Кроме того, известно, что равно нулю, если нечетно, ибо мы заранее знаем, что разложение не должно содержать четных степеней

Именно таким способом Тиссеран вычислил и, следовательно, Он нашел

Я запишу этот результат в виде

где ряды по возрастающим степеням коэффициенты которых рациональны относительно

Первый вопрос, который следует решить, состоит в том, вещественно или мнимо. Если

вещественно и решение дифференциального уравнения устойчиво. Функция , так же, как и остается все время заключенной в конечных пределах. Если же, наоборот,

то мнимо и функции и имеют вид

где вещественные постоянные, периодическая функция от с периодом . Отсюда следует, что и могут неограниченно возрастать и что решение нашего дифференциального уравнения неустойчиво.

Если временно рассматривать как координаты некоторой точки на плоскости, то эта плоскость окажется разделенной на две области: одна область отвечает случаю, когда меньше вещественно, а вторая — случаю, когда больше мнимо. Эти области отделены

друг от друга различными ветвями двух кривых

Поэтому представляет известный интерес построение обеих кривых по крайней мере в той части плоскости, которая соответствует малым значениям

При имеем

Следовательно, кривая (я буду называть ее кривой С) пересекает ось в точках, абциссы которых являются целыми четными числами, а кривая —1 (я буду называть ее кривой С) пересекает ось в точках, абсциссы которых являются нечетными целыми числами.

Все остальные точки оси принадлежат первой области, в которой вещественно.

Итак, рассмотрим уравнение

связывающее Левая часть его обращается в нуль при Она разлагается в ряд по возрастающим степеням наконец, ее производная по равна при и, следовательно, не обращается в нуль, если только не целое число. Таким образом, если предположить, что не целое число, то теорема позволяет утверждать, что разлагается по возрастающим степеням и, если достаточно мало, этот ряд сходится.

Посмотрим теперь, что происходит, если число целое. Тиссеран, применяя свою формулу, нашел при

при

при

и, наконец, при

В самом деле, если целое, то равен обращается в нуль. Однако одновременно обращается в бесконечность, так что

произведение

стремится к конечному значению, когда стремится к целому числу. Рассмотрим предел

когда стремится к целому значению.

Этот предел будет разлагаться по степеням однако в разложении коэффициент при обращается в бесконечность или 1, коэффициент при обращается в бесконечность при или 2, коэффициент при обращается в бесконечность при или 3. Отсюда следует, что если стремится к некоторому целому то разложение начнется с члена Кроме того, разложение начнется с члена Именно по этой причине в разложениях

найденных Тиссерапом, первый член содержит при или

Итак, рассмотрим уравнение кривой С, которое можно записать в виде

Так как кривая проходит через точку

левая часть этого уравнения обращается в нуль при и, кроме того, она разлагается в ряд по возрастающим степеням Нетрудно видеть, что это разложение не содержит членов нулевой и первой степени, а начинается с членов второго порядка

где коэффициент А равен

Отсюда следует, что точка является двойной точкой для кривой С. Следует различать два случая.

1. Если то члены второго порядка представляют собой сумму двух квадратов, обе ветви кривой, проходящие через двойную точку, становятся мнимыми, следовательно, начало координат для кривой является изолированной точкой.

2. Если то А равно нулю; обе ветви кривой, проходящие через двойную точку, касаются друг друга и пересекают ось под прямым углом; чтобы узнать, являются ли обе ветви вещественными или мнимыми, необходимо учесть члены с

Коэффициент при q как мы видели, равен

в зависимости от того, или

Коэффициент при получают, дифференцируя

и полагая При этом находят

Ветви кривой вещественны (в предположении, что тогда и только тогда, когда квадратичная форма

индефинитна. Сомнения возникают лишь в том случае, когда эта форма приводится к точному квадрату. Именно так и обстоит дело; мы увидим, что из-за этого две ветви нашей кривой имеют друг с другом касание не только первого, но и более высокого порядка. Чтобы узнать, вещественны ли они, нам необходимо было бы учесть члены более высокого порядка, если бы, к счастью, не существовало косвенного метода решения этого вопроса. Позднее я остановлюсь на этом методе подробнее.

В случае, когда квадратичная форма принимает

и является индефинитной. Следовательно, в этом случае ветви кривой, безусловно, вещественны.

Построим теперь кривую С, уравнение которой имеет вид

Правая часть обращается в нуль при целое нечетное число). Разложение ее по степеням начинается с членов второго порядка

Если то имеют различные знаки, и обе ветви кривой, проходящие через двойную точку, вещественны.

Если и обе ветви кривой имеют касание (и, может быть, порядка выше первого). Чтобы узнать вещественны ли они, необходимо воспользоваться тем косвенным методом, о котором упоминалось выше. Вот в чем он состоит.

Можно задать вопрос: что происходит, когда

В соответствии с тем, что изложено в п. 29, наиболее общее решение уравнения (1) п. 78 имеет вид

где периодические функции от с периодом , если , и с периодом если (при атом они меняют знак при замене на . Следовательно,

Пусть эта функция — решение уравнения (1). Но функция четная, следовательно, функция четна, а нечетна. Поэтому с точностью до постоянного множителя равна в силу чего функция периодическая [49].

Если тождественно равна нулю, то функция периодическая. Итак, могут представиться три случая:

1) либо периодическая, и тогда

2) либо периодическая, и тогда

3) либо обе эти функции периодические, и тогда

Тот же результат можно получить и по-другому. Равенство

выполняется тождественно.

Если

то

Следовательно, по крайней мере одна из двух величин и равна нулю.

то

и поскольку

Следовательно, простые точки кривых принадлежат двум кривым

и наоборот.

Заметим прежде всего, что являются целыми функциями от При эти функции имеют вид

Следовательно, если проходит через какое-то целое, отличное от нуля значение, то и обращаются в нуль, изменяя знак на противоположный. Целые значения для обеих функций являются простыми нулями. Отсюда следует, что точки целое число, отличное от нуля), являющиеся двойными точками либо для С, либо для С, служат простыми точками для каждой из двух кривых

Если проходит через нуль, то обращается в нуль, не меняя знака (двойной нуль), а в нуль не обращается. Следовательно, начало координат является двойной точкой для но в начале координат в нуль не обращается.

Имеются четыре аналитически различные кривые:

Таким образом, кривая С представляет собой совокупность двух кривых (а) и . При

каждая из них имеет простую точку. Поэтому эта точка для кривой С является двойной, но две ветви С, проходящие через эту точку, принадлежат, таким образом двум аналитически различным кривым и могут быть лишь вещественными.

Единственным исключением является начало координат

которое служит двойной точкой для кривой а, но не принадлежит кривой (3. В силу только что сказанного предыдущее рассуждение в этом случае неприменимо. Кроме того, мы видели, что обе ветви кривой а становятся мнимыми.

Аналогично кривая С представляет собой совокупность двух кривых и (6). Каждая из них при

имеет простую точку.

Две ветви С, проходящие через эту точку, принадлежат двум аналитически различным кривым и, следовательно, вещественны.

Выше мы видели, что замена на приводит к тем же результатам, что и замена на

Рассмотрим сначала кривую (а)

Имеем

откуда

Следовательно, функция четная и периодическая с периодом . Поэтому, если произвести замену на то перейдет в функцию которая также четна и периодична. Следовательно, если кривой (а) принадлежит точка то ей также принадлежит и точка Отсюда следует, что кривая (а) симметрична относительно оси

Кривая С в целом симметрична и состоит из ветвей (а) и Отсюда мы заключаем (кроме того, что это нетрудно проверить), что кривая также симметрична относительно оси

Из этого следует вывод, что кривые (а) и могут иметь в точке

касание только нечетного порядка.

Рассмотрим теперь кривую

Имеем

Следовательно, функция нечетная и периодическая. Поэтому если точка принадлежит , то точка принадлежит (6). Отсюда вытекает, что кривые и (6) расположены симметрично относительно оси

Следовательно, в точке

эти кривые могут иметь касание только четного порядка. В соответствии с: этим две ветви кривых имеют при касание нулевого порядка при касание первого порядка при касание второго порядка (по крайней мере) при касание третьего порядка (по крайней мере) при . При порядок касания попеременно то четен, то нечетен и всегда не меньше двух.

Это наводит на мысль о том, что касание всегда имеет порядок , однако я это утверждение не проверял.

Итог всех предшествующих рассуждений можно представить графически (рис. 6). В прямоугольнике

заштрихованная область отвечает мнимым значениям

Рис. 6

С помощью уравнения, задающего в виде функции от можно найти различные более или менее быстро сходящиеся разложения, выражающие в виде ряда по степеням Однако я считаю, что удобнее вычислить с помощью приведенных выше формул и находить по тригонометрическим таблицам.

180. Коль скоро величина найдена, можно найти коэффициенты разложения

По определению самой функции , должно выполняться равенство

Кроме того,

Но согласно тому, что изложено в п. 29, уравнение (1) п. 178 должно иметь два решения вида

и, следовательно, должна быть некоторой их линейной комбинацией. Это имеет место лишь при

Отсюда следует, что сумма

также удовлетворяет уравнению (1) и что, следовательно, ему удовлетворяет

Ясно, что коэффициент является функцией от однако эта функция не является уже целой, как это было в случае Точно так же эта функция не является однозначной. Очевидно, что особыми точками этой функции являются лишь те точки кривых

в которых функции нельзя записать в том виде, в котором их только что записали.

Как ведет себя функция в окрестности одной из таких особых точек? Предположим, что точка неограниченно приближается к некоторой точке М кривой

стремится к некоторому целому значению В этом случае функция в пределе все еще будет периодической. Положим для краткости

тогда, объединяя в и члены с получим

Если затем ввести обозначения

то

стремится к стремится к единице, стремится к нулю. Однако если обращается в бесконечность, причем так, что стремится к некоторому конечному пределу, то произведение будет стремиться к где постоянная.

Если точка М принадлежит кривой то разложение должно содержать только члены с

а разложение члены с

Итак, необходимо, чтобы С стремилось к конечному пределу, — к нулю. Следовательно, и стремятся к конечным и равным между собой пределам. Если четно, то стремится к нулю. Нетрудно проверить, что если

то, как и должно быть,

Наоборот, если точка М принадлежит кривой то разложениз должно содержать члены с

а разложение члены с

Необходимо, следовательно, чтобы С стремилось к конечному пределу, к бесконечности.

Следовательно, стремятся к бесконечности, но их алгебраическая сумма остается конечной.

Если же точка М не принадлежит ни кривой ни кривой то эта точка не будет особой для функции В самом деле, если точка описывает замкнутую кривую вокруг М, то функции

переходят друг в друга, поскольку они являются двумя ветвями одной и той же алгебраической функции.

Отсюда следует, что если не целое, то можно разложить по возрастающим степеням и радиус сходимости этого разложения будет равен модулю ближайшей особой точки, а особыми точками будут те точки кривых , которые отвечают рассматриваемому значению

Необходимо еще найти коэффициенты разложения. Предположим, что эта задача решена, и

Разлагая по степеням получаем

Это разложение, содержащее тригонометрические функции от умноженные на степени должно совпадать с найденным ранее разложением

В самом деле, заметим, что разлагаются по возрастающим степеням

Приравнивая оба разложения, получаем

и

Итак, мы получаем способ вычисления коэффициентов разложения. Скорость сходимости, вообще говоря, достаточна, если только не слишком мало отличается от целого. Если же мало отличается от некоторого целого то сходимость изменится следующим образом.

Поскольку и переходят друг в друга при обходе вокруг ближайшей особой точки, обе функции

остаются однозначными в окрестности этой особой точки, но первая из этих функций конечна, а вторая обращается в бесконечность первого порядка, если эта особая точка принадлежит Но в этом случае произведение

остается конечным. Разложения

сходятся быстрее разложений Следовательно, удобно воспользоваться ими и найти затем решив квадратное уравнение.

Заметим, наконец, что рассмотрение вида кривых в окрестности точек

особенно упростится, если вместо разложения воспользоваться разложениями .

Все сказанное составляет полную теорию уравнения (1). Тем не менее я должен еще рассказать о различных методах, предложенных для интегрирования этого уравнения, а именно, методе, основанном на теоремах Якоби, и методах Гильдена, Брунса, Хилла и Линдштедта.