КОММЕНТАРИЙ 1

Почти весь материал первого тома «Methodes Nouvelles» стал классическим. Первая глава содержит сжатое изложение основных теорем аналитической динамики, сопровождаемое примерами приложений к выбору подходящих координат в различных небесно-механических задачах. Пуанкаре вводит и систематически использует канонические переменные действие — угол (переменные Делоне) сперва в ограниченной, а потом и в неограниченной задаче трех тел. Он вводит затем новые канонические переменные (переменные Пуанкаре), удобные для исследования орбит, близких к круговым.

Вторая глава содержит аналитический подготовительный материал для дальнейших исследований. Здесь подробно излагается метод мажорант Коши. Далее рассматривается теорема о неявной функции, алгеброидные особые точки, ряды Пюизе. Наконец, доказывается сохранение четности числа вещественных особых точек при деформации функции.

Третья глава посвящена периодическим решениям. Здесь исследуется поведение периодических решений при возмущениях (теория бифуркаций) и «метод Пуанкаре» нахождения периодических решений разложением в ряд по степеням малого параметра. Результаты применяются к задаче трех тел, для которой Пуанкаре нашел много интересных периодических решений. Далее Пуанкаре находит периодические решения общей канонической системы дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым; идеи этого раздела послужили основой теорем Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений в окрестности данного периодического решения.

Четвертая глава — характеристические показатели — состоит из двух частей. В первой излагается общая теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами, с учетом наличия первых интегралов и интегральных инвариантов. Во второй части исследуются характеристические показатели периодических решений задачи трех тел и находятся их разложения в ряд по степеням малого параметра (вообще дробным).

Пятая глава посвящена доказательству неинтегрируемости задачи трех тел. Здесь доказывается несуществование аналитического (и аналитически зависящего от параметров) первого интеграла, независимого от классических и однозначного в переменных действие — угол. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведении решений возмущенной системы (в частности рождение многочисленных невырожденных периодических решений) несовместимо с интегрируемостью: существование каждого добавочного первого интеграла накладывает на поведение решений довольна

жесткие ограничения. Возможности, предоставляемые этой идеей, далеко не исчерпаны и сейчас.

В шестой главе изучаются аналитические свойства пертурбационной функции, т. е. энергии взаимодействия, и асимптотика ее коэффициентов Фурье высокого порядка. С математической точки зрения речь идет об исследовании особых точек интеграла от аналитической функции нескольких переменных, рассматриваемого как функция параметров («точек линча»). Это исследование проводится затем подробно для специального случая пертурбационной функции задачи трех тел. Результат применяется к проверке невырожденности задачи трех тел, нужной для проведенного в предыдущей главе доказательства несуществования первых интегралов. Однако значение этих исследований Пуанкаре выходит далеко за рамки небесной механики, так как аналогичные задачи об асимптотиках и об интегралах, зависящих от параметра, встречаются в самых разных областях.

Седьмая глава — асимптотические решения — посвящена инвариантным многообразиям, связанным с периодическими решениями, устойчивым и неустойчивым «усам». Намеченная Пуанкаре теория была позже развита и обобщена многими авторами. в особенности Адамаром и Перроном. Глава закапчивается построением асимптотических разложений для инвариантных многообразий гамильтоновых систем, близких к интегрируемым.

1 (стр.14). Современное изложение гамильтоновой механики можно найти в кн.: Н. Abraham and J. Магsdеn. Foundations of Mechanics. Benjamin, 1967.

2 (стр.16). Задача о притяжении двумя неподвижными центрами подробно разобрана в книге Шарлье «Небесная механика» (М., изд-во «Наука», 1966, гл. III). Неточности в качественном исследовании Шарлье позднее исправлялись в работах Талгквиста (Acta Societatis Scientiarum Fennicae, 1927, 1, №3, 5) и Бадаляна (Астр, ж., 1934, II, вып. 4; Comment. Phys.- Math. Soc. Scient. Fennicae, 1935, 8, N« 2).

В последнее время вновь усилилось внимание к задаче двух неподвижных центров. Потенциал двух центров хорошо аппроксимирует потенциал слегка вытянуто] о эллипсоида. Если же поместить центры в мнимые точки, то получится хорошая аппроксимация потенциала сплюснутого эллипсоида. Поэтому решением задачи о двух неподвижных центрах можно воспользоваться в качестве некоторого приближения при исследовании движения спутников сжатых планет.

См. по этому поводу, например, статью Аксенова, Гребенникова и Демина. Астр, ж., 1963, 40, 2, а также: W. Т. Купег. Qualitative Properties of Orbits about an oblate Planet. - Comment, on Pure and Applied Mathematics, 1964, XVIII, № 2, 227-236; О. С. Соu1ey. A disc mapping associated with satellite problems, ibid., 237—243.

3. (стр. 17). Рассматриваемый здесь предельный случай задачи трех тел называкл теперь «ограниченной задачей трех тел». В случае, когда наклонение равно нулю, говорят о «плоской ограниченной задаче трех тел», а если еще эксцентриситет орбиты возмущающей массы равен нулю — о «плоской ограниченной круговой задаче трех тел».

Ограниченной задаче трех тел, после Пуанкаре, посвящены многочисленные исследования. Обзор современного состояния вопроса и список литературы можно найти в статьях М. Хенона (М. Непоn. Exploration numerique du probleme restreint.

I —IV.— Annales d’Astronomic, 1965, 28, № 3 и 6; Bulletin Astronomique, ser. 3, I960, I, fasc. 1, 2).

4 (стр. 24). Формулы (3) и следующие за ними не согласуются с уравнением Кеплера М. Должно быть

5 (стр. 29). Ссылка дана здесь на: F. Tisserand. Traite de Mecanique Celeste, t. I (Perturbations des planetes d’apres la methode de la variation des constantes arbit-raires). Paris, 1889, ch. IV, p. 77; см. также: Г. H. Дубошин. Небесная механика. М., 1968, стр. 736 и далее.

6 (стр. 33). Пуанкаре ссылается здесь на некоторые результаты, изложенные и т. I труда Тиесерапа в гл. XVIII (Developpement do la fonction perturbatrice dans !e cas ou les excentricites et les inclinaisons mutuelles des orbites sont considerables), n частности на формулы (32), (38) и (39) этой главы.

7 (стр. 45). В старой русской литературе принят термин «частные интегралы». Современные термины — «инвариантное многообразие» или «инвариантный идеал».

8 (стр. 60). Пуанкаре ссылается здесь на свою работу: «Sur un moyen d’augmonter la convergence des series trigonometriques» (Об одном способе ускорить сходимость тригонометрических рядов.)- Bulletin Astronomique, 1886, 3. Эта работа вошла в собрание сочинений Пуанкаре: Н. Роiпсarc. Oeuvres, t. 41.

9. (стр. 67). /{иссертация Пуанкаре (These inaugurate, т. е. вступительная — для получения права преподавания в высших учебных заведениях) опубликована под названием: «Sur les proprietes des fonctions definies par des equations aux differences partielles» (О свойствах функций, определяемых уравнениями в частных производных). Paris, 1879; перепечатана в «Oeuvres», t. 1, 1924.

10. (стр. 70). См.: А. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.- Л, 1947, гл. XVIII (стр. 210 и далее).

11 (стр. 70). Об индексе Кронекера см. книгу, указанную в предыдущем прим., стр. 220.

12 (стр. 75). Понимаемое буквально, высказанное утверждение опровергается примером .

Утверждение Пуанкаре, что в любой окрестпости любой точки есть замкнутая траектория, естественно относить лишь к системам «общего положения». В такой форме оно правдоподобно, но до сих пор но доказано. Важные результаты в этом направлении недавно получил Пыо (Р u g h. The Hamiltonian closing lemma. Международный математический конгресс. Москва, 1966). Пью показал, что малым (с первыми производными) изменением гамильтонова векторного поля можно добиться того, чтобы проходящая через дапную точку траектория стала замкнутой. Неизвестно, можно ли добиться этого более гладкой деформацией, тем более аналитической, как того требовал Пуанкаре.

13 (стр. 76). Намеченная здесь теория бифуркации периодических решений послужила основой работы Пуанкаре о геодезических на выпуклых поверхностях (см. настоящее собрание сочинений, т. 2).

14 (стр. 87). G. W. Hill. Researches in the Lunar Theory.- Amer. Journal of Mathematics, 1878, 1, p. 5—26, 129—147, 245—260; см. также: G. W. H i 1 1. The Collected Mathematical Works, v. I, 1905, p. 284—335.

15 (стр. 87). Здесь Пуанкаре ссылается на свою работу: «Sur certaines solutions particulieres du probleme des trois corps» (О некоторых частных решениях задачи трех тел). Bull. Astr., 1884, 1. Она воспроизведена в «Oeuvres», t. 7. Paris, 1952.

16 (стр. 95). При перепечатке своего мемуара в «Collect. Math. Works» (см. прим [14]) Хилл дал следующую сноску: «The attribution of the maximum lunation to this moon is erroneus as was first pointed out to me by J. C. Adams and afterwards by M. Poincare». (Ошибочно приписывать максимум лунации этой луне, как было мне указано сначала Дж. Адамсом, а затем г. Пуанкаре.) См. указ. выше соч., стр. 326.

17 (стр. 111). В этих словах Пуанкаре можно усмотреть зародыш того, что теперь называется «теорией Морса».

Речь идет по существу о числе критических точек гладкой функции на торе.

Аргументация Пуанкаре была, вероятно, следующей.

В мемуарах «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (ОГИЗ, 1947, гл. XVIII) Пуанкаре фактически доказал, что для любой гладкой функции на многообразии число

где число минимумов, число седел с одним отрицательным квадратом, с двумя, одно и то я и совпадает с «характеристикой Эйлера — Пуанкаре» этого многообразия, где число Бетти. В частности, эйлерова характеристика тора равна нулю, поэтому

Но так как число минимумов и число максимумов не меньше 1, то не меньше

2. Отсюда Пуанкаре и приходит к выводу, что общее число критических точек функции на торе не меньше 4. Для трехмерного тора характеристика Эйлера — Пуанкаре равна

0, поэтому

Хотя и не меньше 1, Пуанкаре не смог извлечь отсюда информации о существовании других критических точек, чем и объясняется заключительная часть фразы на стр. 111.

В действительности критические точки, отличные от максимума и минимума, существуют у любой гладкой функции на многообразии, не гоыеоморфном сфере (J. Мi1пог. Sommes de varietes differentiables et structures differentiables des spheres.- Bull. Soc. Math, de France, 1959, 87, 439—447).

Связь между числом критических точек функции на многообразии и топологией многообразия после Пуанкаре была детально исследована М. Морсом (см., например,

кн.: Дж. Милнор. Теория Морса. Изд-во «Мир», 1965, гл. I). Из неравенств Морса следует, что общее число критических точек не меньше суммы чисел Бетти

Для -мерного тора сумма чисел Бетти равна 2п. Поэтому функция на двумерном торе имеет не менее четырех критических точек, на трехмерном — не менее восьми и т. д.

В соответствии с этим при возмущении заполненного периодическими траекториями трехмерного тора возникает по крайней мере четыре периодических решения, четырехмерного — восемь и т. д. (ср.: V. Агпо1d. С. R. Acad. Sci. Paris, 1965, 261, 3719— 3722).

Заметим, что выше все время имелись в виду невырожденные критические точки, т. е. такие, в которых второй дифференциал функции невырожден; если же имеются и вырожденные критические точки, то их надо учитывать с кратностями.

Число геометрически различных критических точек ва многообразии также можно оценить через топологические инварианты многообразия, такие, как категория Люстервика — Шнирельмана (см., например: Люстсрник и Шнирельман, Топологические методы в вариационных задачах. Изд-во МГУ, 1930).

Категория двумерного тора равна 3, -мерного — . Отсюда следует, что функция на двумерном торе имеет по меньшей мере три геометрически различные критические точки, на -мерном — по меньшой мере .

Эти оценки достигаются — существуют функции, имеющие ровно критическую точку.

В соответствии со сказанным при возмущении заполненного периодическими траекториями -мерного тора возникает не менее геометрически различных периодических решений.

18.    (стр. 139). Имеется ввиду знаменитый мемуар Пуанкаре, получивший премию: Н. Poincare. Sur le Probleme des Trois Corps et les Equations de la Dynamique (О проблеме трех тел и об уравнениях динамики.— Acta mathematica, t. 13, 1889): также в собрании сочинений Пуанкаре: Н. Роiпсагё. Oeuvres, t. 7. «Новые методы небесной механики» в значительной своей части представляют собой либо дальнейшее развитие, либо новую редакцию методов и результатов, изложенных в этом мемуаре. Интересны письма Пуанкаре по поводу этого мемуара, адресованные известному шведскому математику, редактору «Acta mathematica», Г. Миттаг-Леффлеру. Они опубликованы в «Acta mathematica», 1921, t. 38, 161—173. Частично мемуар Пуанкаре включен в том 2 настоящего издания.

19.    (стр. 146). Это работа: «On the Part of the Motion of the Lunar Perigee which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon». Cambridge, Mass., John Wilson and Son, 1877, p. 28, перепечатанная и в «Acta mathematica», 1886, VIII, 1—36 и в «Collected Math. Works of G.W. Hill», v. I, Washington, 1905, стр. 243—270.

20.    (стр. 204) См. прим. [18].

21.    (стр. 205). Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трех тел до сих пор не доказано с полной строгостью. Пуанкаре фактически рассматривает лишь интегралы, аналитические не только относительно переменных Делоне, но также и относительно параметрар, или У ц. Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит К. Л.

Зигелю (русск. норов.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129—155); см. также работу: 10. Мозер. On the integrability of area preserving Cremona mapping near an elliptic fixed point.— Buletin de la Soeiedad Matematica Mexicana, 1961 и цитированную в ней литературу.

Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование в задачах с двумя степенями свободы вытекает и:? одной теоремы А. Н. Колмогорова (см.: А. Н. Колмогоров. Докл. АН СССР, 1954, 48, № 4, 527—530; В. И. Арно ль д, УМН, 1963, 18, № 5 и 6). Напротив, в случае, когда число степеней свободы болое двух, для системы общего вида, вероятнее всего, невозможен даже и непрерывный интеграл (см.: В. И. Арнольд. Докл. АН ССОР, 1964,    156, № 1, 9-12).

22    (стр. 220). Напомним, что речь идет об аналитических интегралах. Непрерывный интеграл в рассматриваемой системе с двумя степенями свободы существует, если отношение масс больших тел достаточно мало (см. прим. [л |).

23.    (стр. 220). См. прим. [ls].

24.    (стр. 223). Работу С. В. Ковалевской в русском переводе см.: С. В. Ковалевская. Научные работы. М, Изд-во АН СССР, 1948.

25.    (стр. 234). Развитый в этой главе метод и аналогичные методы в теории распространения электромагнитных волн (Ватсон, Зоммерфельд, Фок) нашли в последнее время новые применения при исследовании асимптотических свойств квантово-механической амплитуды рассеяния (Редже и др.; см. сборник переводов «Теория сильных взаимодействий при больших энергиях». ИЛ, 1963).

26.    (стр. 277). Должно быть

27.    (стр. 278). Отношение средних движений Юпитера и Паллады равно 7/18, а не 8/17. Вероятно, должно быть

откуда

28.    (стр. 299). См. прим. [18].

29.    (стр. 326). Пуанкаре ссылается на свой мемуар «Sur les integrates irregulieres des equations lineaires» (Об иррегулярных интегралах линейных уравнении).— Acta Muthenial ica, t. VIII, 1886; также в «Oeuvre?», t. 1.

Считаю сгоим долгом поблагодарит!, Г. А. Мермана, М. С. Петровскую, М. С. Волкова, Л. К). Ппус, Г. А. Краспнского, А. А. Бряндинскую и И. В. Иословича, указавших многочисленные опечатки в I томе французского оригинала.

В. И. Арнольд