Исчисление асимптотических рядов

120. Итак, мы должны рассмотреть соотношение новой природы, которое может существовать между функцией аргументов которую мы будем обозначать символом и расходящимся рядом, расположенным по степеням

Коэффициенты могут быть функциями, зависящими лишь от а: и не зависящими от (именно так обстояло дело в предыдущем примере) или же зависящими одновременно и от х, и от

Положим

Если

то я буду говорить, что ряд (1) является асимптотическим представлением функции и употреблять запись

Соотношения вида (2) я буду называть асимптотическими равенствами.

Ясно, что если параметр х очень мал, то разность также будет очень мала, и хотя ряд (2) и будет расходиться, сумма его первых членов будет служить очень хорошей аппроксимацией функции

Астрономы сказали бы, что этот ряд сходится и что он представляет функцию Они постоянно имеют дело с рядами, которые формально удовлетворяют дифференциальным уравнениям, и оставляют в стороне вопрос о сходимости этих рядов. На первый взгляд такой подход кажется совершенно незаконным и тем не менее именно такой подход часто приводит к цели.

Чтобы объяснить, в чем здесь дело, необходимо более подробно остановиться на этом вопросе. Именно это я и собираюсь сделать.

Введем несколько новых определений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Я предполагаю, что однозначная функция, зависящая от и параметра которая разлагается в ряд по возрастающим степеням [

Рассмотрим теперь расходящихся рядов, которые я запишу в виде

Я предполагаю, что известные функции, зависящие от и что, кроме того, эти функции допускают разложение в сходящиеся ряды по возрастающим степеням

Пусть сумма первых членов ряда Я буду говорить, что ряды формально удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3), если после подстановки величин

вместо

разность будет делиться на

Введя это определение, я намереваюсь доказать следующее. Рассмотрим частное решение уравнений (3), а именно то, для которого

при

Пусть

Я предполагаю, что все функции при обращаются в нуль.

Я утверждаю, что будут выполняться следующие асимптотические равенства:

В самом деле, положим

Подставляя в (3) вместо выражения мы сможем записать эти уравнения в виде

После такой подстановки можно разложить в ряды по возрастающим степеням и величин

причем коэффициенты разложения будут известными функциями времени.

Не представляет исключения и тот случай, когда частное решение

при каком-нибудь из рассмотренных значений будет проходить через одну из особых точек дифференциального уравнения [так же, как и в главе II ( п. 27), я буду называть особыми те совокупности значений при которых функции перестают быть голоморфными].

Точно так же, как в п. 27, можно найти два положительных числа М и а, таких, что

Однако по предположению ряды формально удовлетворяют уравнениям (3). Это означает, что если положить

откуда

то разности будут делиться на Следовательно, можно записать неравенство

Если для краткости мы обозначим правую часть неравенства (5) символом и положим

то уравнения (3) запишутся в виде

причем

Рассмотрим частное решение уравнений (6), такое, что при

Это решение можно записать в виде

Для того чтобы доказать асимптотические равенства (4), достаточно установить, что величины ограничены. Для этого достаточно сравнить уравнения (6) с уравнениями

Поскольку решение уравнений ограничено, то ограниченным будет и решение уравнений (6). Однако уравнения легко интегрировать, ибо если положить

то для рассматриваемого нами частного решения

и

Последнее уравнение легко интегрируется, откуда мы нолучаем, что величина о ограничена и что а стремится к конечному пределу, когда стремится к нулю.

То же относится и к что и требовалось доказать.

Эта теорема служит обоснованием метода, применяемого астрономами, если только параметр достаточно мал. Вероятно, этот результат можно было бы установить и более просто, однако приведенное выше доказательство дает нам простой способ для нахождения верхнего предела совершаемой ошибки.

121. Нам осталось рассмотреть вопрос о том, в какой мере обычные правила математического анализа применимы к исчислению формальных рядов.

Для этого рассмотрим систему двух уравнений

где однозначные функции от допускающие разложение по степеням

Произведем замену переменных

где зависят от Рассматриваемые дифференциальные уравнения запишутся в виде

где

Функции можно разложить по возрастающим степеням если только определитель не будет делиться на что мы заранее не предполагаем.

Установив это, введем в рассмотрение два расходящихся ряда

где функции зависят от и допускают разложение вряд по возрастающим степеням

Я предполагаю, что ряды формально удовлетворяют уравнениям (2), если подставить их вместо и положить Произведем теперь в этих двух уравнениях замену переменных

а вместо подставим . Затем разложим функции

по возрастающим степеням Несмотря на то, что ряды , по предположению, расходятся, это разложение производится по обычным правилам. Под этим я понимаю следующее.

Пусть суммы первых членов рядов . Предположим, что требуется вычислить первых членов разложения функций Чтобы получить член этих разложений, необходимо взять член разложения функций

При этом мы получим два расходящихся ряда, которые можно записать следующим образом:

Эти ряды имеют тот же вид, что и ряды .

Я утверждаю, что эти ряды формально удовлетворяют уравнениям (1), если подставить их вместо х и у, а затем положить

Действительно, если

то разность между правой и левой частью уравнений (1) будет делиться на

С другой стороны, если обозначить через суммы первых членов рядов (3), то разности

будут делиться на

Теперь нетрудно видеть, что если

то разность между правой и левой частью уравнений (1) будет делиться на что и требовалось доказать.

Пусть теперь имеется одно уравнение

где X зависит от

Положим

тогда

Пусть

— некоторый расходящийся ряд, который формально удовлетворяет уравнению (4).

Составим ряд

полученный почленным дифференцированием первого ряда по

Я утверждаю, что ряды формально удовлетворяют уравнениям (4) и (5).

В самом деле, пусть означают сумму первых членов рядов тогда

Положим

Я утверждаю, что разность

делится на

В самом деле, по предположению разность

делится на следовательно, точно так же будет делиться на и ее производная

что и требовалось доказать.

Таким образом, обычные правила анализа оказываются применимыми и к исчислению формальных рядов.

Чрезвычайно интересный для последующего вопрос состоит в том, чтобы выяснить, будут ли теоремы Якоби, изложенные в пунктах 3 и 4, применимы в формальном исчислении.

Ответ на этот вопрос должен быть утвердительным. Мы покажем это несколько дальше, в п. 125, на одном частном примере, однако доказательство можно без изменений перенести и на общий случай.

122. На стр. 295 т. VIII журнала «Acta mathematica» я привел доказательства некоторых свойств асимптотических равенств.

Два асимптотических равенства можно складывать, точно так же два асимптотических равенства можно умножать друг на друга.

Пусть теперь

— расходящийся ряд, а функции зависят от Пусть

— некоторое асимптотическое равенство.

Предположим, что чтобы при выполнялись равенства

Пусть, кроме того, некоторая функция, зависящая от z, голоморфна в окрестности точки

Подставим ряд S вместо аргумента z в и разложим по степеням следуя обычным правилам анализа так, как это сделано в предыдущем пункте. Мы получим асимптотическое равенство

Вряд ли стоит воспроизводить здесь доказательства этих утверждений. Читатель сможет найти их в указанном выше мемуаре, однако я не советую этого делать, поскольку доказательства настолько легки, что можно очень быстро восстановить их самому.

Пусть теперь у нас имеется некоторое асимптотическое равенство

в котором функции зависят от Я предполагаю, что эти равенства выполняются равномерно. Этим я хочу сказать, что выражение

где означает сумму первых членов ряда, стремится вместе с к нулю равномерно относительно Другими словами, можно найти некоторое число не зависящее от а зависящее только от и обращаю щееся в нуль вместе с такое, что

Тогда

что и доказывает справедливость асимптотического равенства

Следовательно, асимптотическое равенство можно интегрировать Напротив, дифференцировать же его, вообще говоря, нельзя. Однако имеется один случай, когда изложенные выше принципы позволяют нам выполнить дифференцирование.

Пусть решение некотор ого дифференциального уравнения, ряд, формально удовлетворя ющий этому уравнению.

Можно записать асимптотическо равенство

Пусть ряд, полученный почленным дифференцированием ряда S. Из сказанного в предыдущем нкте следует, что этот ряд формально удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, которому удовлетворяет в обычном смысле производная

Следовательно, выполняется следующее асимптотическое равенство

Я приношу свои извинения читателю за то, что так подробно останавливался на столь простых вопросах. Однако мне хотелось отчетливо показать сущность того различия в понимании слова сходимость, о котором говорилось выше. Точно так же, прежде чем приступить к изучению методов последовательных приближений, применяемых в небесной механике, я хотел объяснить, почему астрономы могут использовать эти методы, хотя с точки зрения геометров они приводят к расходящимся выражениям.