Метод Хилла

185. Вернемся к уравнениям (1), (2), (3), (4) и предыдущего пункта. Эти уравнения линейны, и, хотя число их бесконечно, Хилл отважился применить к ним обычные методы решения конечного числа линейных уравнений, а именно, метод определителей.

Насколько обоснован такой подход? Именно этот вопрос был подробно рассмотрен в мемуаре, опубликованном мной в т. XIV «Bulletin de la Societe Mathematique de France» [50]. Я приведу здесь основные результаты этого мемуара.

Рассмотрим бесконечную таблицу с двойным входом

Элементы, стоящие на главной диагонали этой таблицы, равны 1.

Пусть определитель, составленный из первых строк и первых столбцов таблицы (5). Я буду говорить, что таблица (5) есть определитель бесконечного порядка и что этот определитель сходится, если стремится к конечному вполне определенному пределу при неограниченно возрастающем

Чтобы выяснить условия сходимости определителя, воспользуемся следующим методом вычисления определителя, известным под названием алгебраического подбора.

Пусть требуется вычислить определитель

Разложим произведение

затем каждому слагаемому в разложении будем приписывать коэффициенты + 1, —1 или 0 в зависимости от того, что требуется. В результате получим определитель

Отсюда нетрудно вывести следующее неравенство. Запишем произведение

тогда

Предположим теперь, что некоторые элементы в определителе заменены нулями, при этом определитель перейдет в а произведение П в произведение П. В разложении П некоторые члены обратятся в нуль, обратятся в нуль и соответствующие члены в разложении определителя Имеем

Таковы два весьма простых неравенства, которые послужат для нас отправным пунктом.

Для сходимости определителя А бесконечного порядка достаточно, чтобы сходилось соответствующее произведение П, которое имеет вид

или в силу известной теоремы, чтобы сходился ряд

Действительно, пусть определители, составленные из первых строк и столбцов таблицы (5). Пусть и значения соответствующих произведений П, определенных выше.

Поскольку в таблице (5) члены, стоящие на главной диагонали, равны 1, переход от к происходит за счет обращения в нуль некоторых элементов определителя Следовательно,

Но если произведение (8) сходится, то правая часть этого неравенства стремится к нулю, когда неограниченно возрастают. Следовательно, стремится к нулю и левая часть этого неравенства, что и доказывает тот

факт, что стремится к некоторому конечному вполне определенному пределу.

Итак, для сходимости определителя А достаточно, чтобы ряд, составленный из всех элементов этого определителя, не стоящих на главной диагонали, сходился абсолютно.

Теперь я хочу убедиться в том, что определитель сходится абсолютно, т. е. что его строки и столбцы можно переставлять, не изменяя предельного значения этого определителя.

Действительно, пусть имеются две таблицы, аналогичные таблице (5) и различающиеся только порядком строк и столбцов. Кроме того, я все же предполагаю, что как в одной, так и в другой таблице на главной диагонали стоят элементы, равные 1. Пусть определитель, составленный из первых строк и столбцов первой таблицы, определитель, составленный из первых строк и столбцов второй таблицы. Число выбрано достаточно большим, чтобы все элементы входили в . Пусть — произведения П, соответствующие определителям и . От определителя к можно перейти, обратив некоторые элементы Др в нуль. Следовательно, можно записать

Однако в силу того, что произведение (8) сходится абсолютно,

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Представим себе теперь, что таблица (5) не ограничена в двух направлениях, так что номера ее строк и столбцов изменяются от до

Элемент, принадлежащий одновременно строке с номером и столбцу с номером обозначим Числа могут принимать любые целые, положительные или отрицательные значения, а также быть равными нулю.

Обозначим через определитель, составленный из строк с номерами столбцов с теми же номерами. Определитель бесконечного порядка сходится, если стремится к конечному вполне определенному пределу.

Предполагается, что элементы, стоящие на главной диагонали, всегда равны 1, т. е.

Рассуждая так же, как и выше, находим, что определитель сходится абсолютно, если сходится ряд

Предположим теперь, что в нашей таблице с двойным входом, т. е. в определителе бесконечного порядка (таково было его определение), все

элементы некоторой строки заменены величинами

каждая из которых по абсолютной величине меньше некоторого положительного числа к. Я утверждаю, что определитель будет по-прежнему сходиться, если сходится ряд

Действительно, выберем, как и раньше, в таблице с двойным входом строк и столбцов и образуем определитель Предположим, что мы уже просуммировали абсолютные значения элементов каждой строки, за исключением той, элементы которой заменены величинами х. Образуем произведение полученных таким образом сумм. Любой член разложения определителя будет каким-то членом произведения , умноженным на одну из величин х с точностью до знака. Следовательно, в силу предположения

должно выполняться неравенство

Если какие-то элементы заменить нулями, перейдет в а произведение Пп перейдет в Какие-то члены произведения обратятся в нуль, обратятся в нуль и некоторые члены Итак,

Заметим теперь, что для перехода от к определителю достаточно в первом определителе некоторые элементы положить равными нулю. Мы обнаружим, что

Так же, как и ранее, найдем, что стремится к вполне определенному конечному пределу, если к конечному пределу стремится . В свою очередь сходимость Пп обусловлена сходимостью ряда

186. Применим эти принципы к одному частному случаю, рассмотренному Хиллом в его мемуаре о движении перигея Луны («Acta mathematica», t. VIII) [51].

Обратимся вновь к уравнениям (2) п. 184

постоянные

Ясно, таким образом, что зависят от допускают разложение по степеням и периодичны относительно При они будут

Итак, функция не изменит своего вида, если ее выразить через новые переменные. Под этим я подразумеваю, что можно разлагать по степеням 11 и что она периодична относительно однако относительно функция не периодична.

Очевидно, что новые канонические уравнения

допускают в качестве решения

ибо старые уравнения допускали в качестве решения

Отсюда мы выводим заключение о том, что три производные

одновременно обращаются в нуль, если

С другой стороны, если то вырождается в некую постоянную, которую я буду обозначать А. Эта постоянная допускает разложение по степеням Положим

функцию можно разлагать по степеням при малых значениях этих переменных; ее разложение не будет содержать члена нулевого порядка и члена первого порядка, отличного от члена, содержащего Коэффициенты этого разложения будут зависеть от

Очевидно, что величину можно получить, положив равным 1, а остальные неизвестные х равными 0.

Я утверждаю, что определенные таким образом величины удовлетворяют уравнениям (2). Действительно, если положить равным т. е. равным

в зависимости от того, будет ли

то определитель будет равен

Это выражение должно быть равно нулю, ибо две строки нашего определителя совпадают. Следовательно, уравнение удовлетворяется.

При имеется исключение, ибо в этом случае определитель не содержит двух одинаковых строк. Однако он по-прежнему равен нулю, ибо в этом случае он равен 0 Щ- Это выражение равно нулю в силу уравнения (3).

Наконец, ряд

сходится. Этот ряд получится, если в А положить

Абсолютная величина в этом случае ограничена, что, как мы видели выше, достаточно для сходимости А.