Глава XVIII. СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнения с правой частью

190. В п. 177 мы видели, что уравнение (6b) п. 169 можно было с помощью надлежащей замены переменных привести к виду

Функция в этом выражении известна. Она представляет собой сумму членов вида

В предыдущей главе мы сумели проинтегрировать соответствующее однородное уравнение, т. е. уравнение (1), в котором Кроме того, известно, что интегрирование линейного уравнения с правой частью всегда можно свести к интегрированию однородного уравнения.

Итак, интересующий нас вопрос решен. В п. 184 мы рассматривали уравнение (1), у которого правая часть

Мы видели, что такому уравнению можно удовлетворить, полагая

где коэффициенты определены соотношениями (4) и (4bis) п. 184. Аналогично, если

то уравнению (1) можно удовлетворить, полагая

где определены теми же соотношениями (4) и (4bis) п. 184.

Отсюда ясно, что если представляет собой сумму членов вида то существует частное решение уравнения (1), которое

можно записать в виде суммы членов

Общее решение получим, если к найденному частному решению прибавим общее решение однородного уравнения.

Особый случай возникает, если один из коэффициентов определяемых соотношениями (4) и (4bis) п. 184, обращается в бесконечность. Нетрудно видеть, что так происходит, если А, равно где некоторое целое число.

В этом случае уравнение (1) всегда можно проинтегрировать, но время не будет входить в решение под знаком синуса или косинуса, вследствие чего решение не будет иметь чисто тригонометрический вид.

Например, если предположить, что

то общее решение будет иметь вид

Итак, решение будет иметь тригонометрический вид в том и только в том случае, если ни одно из чисел X, входящих в не равно

Если X не равно точно, но мало отличается от то коэффициенты не обращаются в бесконечность, но становятся очень большими.

Это обстоятельство не приводило бы ни к каким трудностям, если бы уравнение (1), т. е. уравнение (66) п. 169, было точным. Но это не так. В главе

XVI мы видели, что это уравнение приближенное. Чтобы точность, даваемая таким приближением, была достаточно высокой, величина которую в этой главе мы обозначили через х, должна оставаться очень малой.

Если же один из коэффициентов становится большим, то х перестает быть малым. Члены, которыми пренебрегают, становятся достаточно большими, и приближенный метод теряет силу.

Поэтому надлежит следить за тем, чтобы в процессе последовательных приближений в правой части уравнения (1) не появлялись члены, аргумент которых мало отличается от

Обобщим сказанное. Рассмотрим уравнение

где разлагаются в тригонометрические ряды.

Пусть или члены разложения или члены разложения

Рассмотрим однородное уравнение

Пусть — два независимых решения этого уравнения, их производные по Тогда

где С — некоторая постоянная, которую всегда можно считать равной 1. Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

Из п. 188 следует, что представляют собой сумму членов вида

где постоянная одна и та же для всех членов, а — линейная комбинация величин с целыми коэффициентами.

Каково же теперь условие, при котором выражение (6) будет иметь тригонометрический вид? Для этого достаточно, чтобы разлагались в тригонометрические ряды без свободного члена или же чтобы при разложении или в тригонометрические ряды не встречались члены с теми же аргументами, что и члены разложения или же наконец (если один из аргументов членов разложения чтобы не было линейной комбинацией с целыми коэффициентами.

В частности, если функция периодическая, так что

где целое число, то отношение не должно принимать целые значения.

Если периодическая функция двух аргументов так что

где целые числа, то не должно существовать соотношения вида

Эти условия достаточны, но не необходимы. В самом деле, если какой-то член и какой-то член имеют одинаковые аргументы, то их произведение приведет к появлению в разложении свободного члена. Таким образом, мы получим столько свободных членов в произведении

сколько в двух его сомножителях имеется пар членов с одинаковым аргументом. Может, однако, [представиться случай, когда эти члены взаимно уничтожатся.

Следовательно, необходимое и достаточное условие состоит в том, чтобы свободные члены произведений были равны нулю.