Применение к доказательству несуществования однозначных интэгралов

102. Но не это главная цель, которую я себе поставил, принимаясь за эту работу. Напомню, что цель состоит в заполнении пробела в доказательстве несуществования однозначных интегралов, о котором я упомянул в конце предыдущей главы.

Действительно, в п. 85 я установил следующее. Пусть

где зависит одновременно от обеих больших осей, обоих эксцентриситетов, наклонения орбит и от долгот обоих перигелиев (отсчитываемых от узла), т. е. от семи переменных.

Пусть

где целые числа, а и с взаимно просты и противоположных знаков. Дадим двум большим осям определенные значения, выбранные такии образом, что отношение средних движений равно — Коэффициенты будут теперь зависеть лишь от пяти переменных. Положим, как в предыдущей главе,

где будет зависеть от шести переменных, а именно обоих эксцентриситетов, долгот перигелиев, наклонения и ?.

Итак, если бы существовал однозначный интеграл, то между любыми шестью из величин существовало соотношение и все величины

могли быть выражены как функции только пяти, а не шести переменных. Но мы имеем

и, следовательно,

Таким образом, если бы существовал однозначный интеграл, то коэффициенты разложения в ряд функции зависели бы лишь от пяти параметров.

Применяя правила предыдущего пункта, мы нашли бы, что для очень большого приближенно выполняется

Тогда легко можно было бы увидеть, что если выражается с помощью только пяти переменных, то же самое можно сказать и о

и, следовательно, зависят лишь от четырех переменных. Затем мы убедились бы в том, что это не так.

В этом заключался мой первоначальный замысел; однако проще действовать иначе.

Особые точки функции зависят, очевидно, лишь от коэффициентов следовательно, они должны быть функциями лишь пяти переменных.

Пусть

— шесть особых точек соответствующими особыми точками будут

и они зависят от и от наших других пяти переменных: эксцентриситетов, наклонения, долгот перигелиев, которые я временно обозначу

Если бы существовал однозначный интеграл, то особые точки должны были бы зависеть лишь от пяти переменных и функциональный определитель

должен был бы быть равен нулю.

Но этот определитель равен

Однако z не равно нулю, а не бесконечно, следовательно, мы должны были бы иметь

Другими словами, попарные отношения особых точек функции должны были зависеть лишь от четырех переменных, которые я обозначу Но эти особые точки бывают двух родов.

Рассмотрим сначала те, которые даются уравнениями

Я назову их

Сразу видно, что зависят лишь от обоих эксцентриситетов, т. е. от и что

Отношение зависело бы лишь от наших четырех переменных но это отношение равно Итак, также и зависели бы лишь от четырех переменных

То же самое можно было бы сказать нотит, которые явно выражаются через

Перейдем к особым точкам второго рода, которые даются уравнениялш

Если в этих уравнениях взять за переменные и у, то они станут алгебраическими. Уравнение определяет тогда, как мы уже видели, кривую шестого порядка, которая при нулевом наклонении распадается на две кривые (3) и (4) третьего порядка; из уравнения в сочетании с можно при нулевом наклонении получить два других, а именно уравнения (5) и (6) из .

Если один из корней уравнений

то отношения и, следовательно, зависели бы лишь от четырех переменных

Итак, если три корня уравнений (1), то зависели бы только от этих четырех переменных, так что функциональный определитель

был бы равен нулю. Предположим, например, что - эксцентриситеты; будет зависеть от от так что этот функциональный определитель равен

поскольку три последние переменные есть наклонение и долготы перигелиев

Тогда мы должны были бы иметь

это означает, что корни уравнения (1) (при фиксированных эксцентриситетах и, следовательно, зависели бы лишь от двух переменных.

Мне остается доказать, что это не так.

103. Начнем с того случая, когда наклонение равно нулю. В этом случае корни уравнения (1) п. 102 зависят лишь от больших осей, эксцентриситетов и разности S. Если, как мы только что это сделали, мы зафиксируем большие оси и эксцентриситеты, то эти корни будут зависеть лишь от разности .

Припоминая сказанное в п. 85 и рассуждая так же, как в предыдущем пункте, мы увидим, что для того, чтобы плоская задача трех тел допускала однозначный интеграл (отличный от интегралов живых сил и площадей), надо, чтобы эти корни не зависели от и оставались постоянными, когда большие оси и эксцентриситеты остаются сами постоянными, а наклонение равно нулю.

Однако ясно, что это не так, поскольку вещественно, когда равно нулю и, вообще говоря, комплексно в противном случае.

Вернемся теперь к случаю, когда наклонение не равно нулю.

- Пронумеруем особые точки, получаемые из уравнений

Для этого предположим, что наклонение очень мало, и мы увидим, обратившись к сказанному в п. 98, что существуют:

1. Восемь особых точек, очень мало отличающихся от и им обратных.

2. Восемь особых точек, две из которых очень мало отличаются от В, две другие — от , еще по две очень мало отличаются от каждой из их обратных.

3. Четыре точки, очень мало отличающиеся от и действительно, когда наклонение равно нулю, обе кривые имеют в двойную точку.

4. Четыре точки, очень мало отличающиеся от Итого 24 особые точки.

Можно прийти к тому же результату другим способом.

Мы видим, что

— целый многочлен шестой степени по х и у, так что уравнение

является уравнением кривой шестого порядка, которая распадается на две другие, когда наклонение равно нулю.

С другой стороны, уравнение можно заменить следующим;

Это уравнение является уравнением кривой девятого порядка, и особые точки будут точками пересечения этих двух кривых, за исключением точек в нуле и бесконечности, которые надо отбросить.

Кривая имеет в начале координат двойную точку, а оси являются ее двойными асимптотами; кривая имеет в начале координат тройную точку, а оси являются для нее тройными асимптотами.

Более того, можно заметить, что Р является суммой трех квадратов, так что я могу записать

где

С другой стороны, можно положить

откуда

Итак, получаем, учитывая, что

так что после избавления от множителя система

может быть заменена следующей:

Кривая имеет ьсего седьмой порядок; в начале координат она имеет простую точку. В качестве асимптот ей служат обе оси, две прямые, отличные от оси х и параллельные ей, две прямые, отличные от оси у и параллельные этой оси, и одна прямая, не параллельная осям.

Две кривые имеют всего 42 пересечения. Среди этих пересечений два приходятся на начало координат. Посмотрим, сколько пересечений находится в бесконечности по направлению оси х.

Кривая имеет три асимптоты, параллельные оси х, в том числе ось для кривой Р эта ось является двойной асимптотой; вообще говоря, это дало бы семь точек пересечения. Действительно, вообще говоря, двойная асимптота означает наличие «точки возврата на бесконечности». Для кривой Р это не так; у нее имеются две различные ветви, соприкасающиеся на бесконечности, что дает не семь, а восемь точек пересечения.

Таким образом, мы имеем на бесконечности восемь точек в направлении оси х и восемь в направлении оси у.

Следовательно, остается особые точки.

Возможно ли теперь, чтобы значения z в этих 24 особых точках зависели лишь от двух переменных?

Обозначим через эти Две переменные.

Мы можем выбрать третью переменную так, что будут функциями от Тогда, при изменении когда две другие переменные остаются постоянными, величина z не должна была бы изменяться.

По предположению имеем

Дифференцируя первое из этих уравнений, находим

Но и, с другой стороны, должно было бы равняться нулю, поскольку z не должно изменяться. Следовательно,

Посмотрим, что означает это уравнение. Если изменять то кривая (или, что то же самое, кривая изменяется; рассмотрим кривую

бесконечно близкую к ее я обозначу Р.

Уравнение (2) означало бы, что эта кривая Р должна проходить чере» 24 особые точки.

Но кривые шестого порядка, следовательно, они не могут, не сливаясь, иметь больше 36 точек пересечения.

Они имеют 4 точки пересечения в начале координат, где у обеих по двойной точке.

В качестве двойной асимптоты им служит ось х, что дает (если учитывать замечание, сделанное выше относительно природы этой двойной асимптоты) восемь точек пересечения в бесконечности в направлении оси х. Столько точек будет в направлении оси у.

Это даст всего пересечения. Следовательно, кривые должны были бы слиться в одну.

Таким образом, при изменении кривая не должна изменяться.

Истолкуем этот результат.

Рассмотрим эллипсы, описанные обеими планетами. Эти два эллипса будут неизменны по форме и величине, поскольку мы зафиксировали большие оси и эксцентриситеты; но при изменении и 3 эти два эллипса будут перемещаться относительно друг друга. Я могу предположить, что один из эллипсов, Е, неподвижен, а другой, Е, подвижен.

Неизменность кривой при фиксированных и означает, что можно найти закон движения Е, такой, что если в некоторый момент точка М, принадлежащая Е, находится на нулевом расстоянии от точки М, принадлежащей Е, то расстояние между этими двумя точками постоянно останется равным нулю (само собой разумеется, поскольку эти две точки комплексные, они могут находиться на нулевом расстоянии, не сливаясь в одну).

Пусть положение точки М в некоторый момент. На Е имеются четыре точки которые расположены на нулевом расстоянии от эти четыре точки не могут лежать на одной прямой. Следовательно, точка М должна бы оставаться на четырех сферах нулевого радиуса с центрами но поскольку эти центры не лежат на одной прямой, то четыре сферы могут иметь лишь две общие точки на конечном расстоянии. Следовательно, невозможно, чтобы точка перемещалась, оставаясь на этих четырех сферах.

Несуществование однозначных интегралов, таким образом, строго доказано.