Главная > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Сходимость рядов

105. Мы должны теперь изучить вопрос о сходимости этих рядов. Единственная трудность возникает, впрочем, как мы увидим, из-за делителей

Заменим уравнения (2) следующими:

Определим Нетрудно видеть, что имеет следующий вид:

где С — произвольная константа, положительные целые числа, сумма которых равна — положительное или отрицательное целое число. Возьмем тогда

Полученные таким образом ряды будут сходящимися, если только тригонометрические ряды, определяющие периодические функции, от которых зависят Н, сходятся абсолютно и равномерно; но последнее всегда имеет место, так как эти периодические функции аналитичны. Что касается то это положительная константа.

Из уравнений можно получить в следующем виде:

Здесь многие члены могут соответствовать тем же показателям положительное целое число. Если сравнить их с рядами, полученными из (2), которые имеют вид

то можно заметить следующее.

1. М — действительное положительное число, большее, чем

2. П означает произведение делителей (5), число которых меньше или равно

Итак, если ряд сходится и если ни один из множителей (5) не меньше то ряд (4) также сходится. Итак, вот каким образом можно сформулировать условие сходимости.

Ряд сходится, если выражение

не может стать меньше любой данной величины для положительных целых значений и целых (положительных или отрицательных) значений у; другими словами, если ни один из двух выпуклых многоугольников, содержащих: первый а и второй а и не содержит начало координат; или если все величины а имеют вещественные части одного и того же знака и ни одна из них не имеет нулевой вещественной части.

Что мы будем делать, если это не так?

Предположим, например, что к из величин а имеют положительные вещественные части, к величин а имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Тогда ряд (4) останется сходящимся, если в нем равны нулю константы А, соответствующие тема, у которых вещественные части отрицательны или равны нулю, так что эти ряды дадут нам не общее решение рассматриваемых уравнений, а решение, содержащее только к произвольных постоянных. Это решение представлено рядом (4) по степеням

Поскольку по предположению вещественные части

положительны, экспоненты

стремятся к , когда стремится к Следовательно, то же самое верно и для величин это означает, что, когда стремится к решение, представленное рядом (4), асимптотически приближается к рассматриваемому периодическому решению. По этой причине мы назовем его асимптотическим решением.

Мы получим вторую систему асимптотических решений, приравнивая пулю в ряду (4) все коэффициенты А, соответствующие показателям а, вещественная часть которых положительна или равна нулю. Тогда этот ряд будет рядом по степеням

где показатели имеют отрицательную вещественную часть. Если теперь устремить соответствующее решение будет

асимптотически приближаться к рассматриваемому периодическому решению.

Если мы предполагаем, что данные уравнения являются уравнениями динамики, то, как мы видели, четно и а попарно противоположны.

Тогда, если к из них имеют положительную вещественную часть, к других будут иметь отрицательную вещественную часть и нулевую вещественную часть. Беря сначала те а, которые имеют положительную вещественную часть, мы получим частное решение, содержащее к произвольных постоянных; второе решение мы получим, беря показатели а с отрицательной вещественной частью.

Впрочем, в случае, когда ни один из а не имеет нулевой вещественной части, и в частности, если все а вещественны, получим

106. Предположим, что в уравнениях (1) X зависят от параметра и функции X разлагаются в ряды по степеням этого параметра.

Представим себе, что при характеристические показатели а все различны, так что эти показатели, определяемые уравнением (аналогичным уравнению , но таким, что все корни уравнения различны), сами разлагаются в ряды по степеням в силу пунктов 30 и 31.

Предположим, наконец, что, как мы только что говорили, мы обратили в нуль все константы А, соответствующие таким а, вещественная часть которых отрицательная или нулевая.

Ряды (4), определяющие величины тогда будут зависеть от Я намерен установить, что эти величины можно разложить в ряды не только по степеням но еще и по степеням

Рассмотрим выражение, обратное одному из делителей (5)

Я утверждаю, что это выражение можно разложить в рядно степеням

Пусть к характеристических показателей, вещественные части которых положительны при и при малых значениях и которые мы договорились сохранить. Каждый из них может быть разложен в ряд по степеням Пусть значение при мы сможем взять достаточно малым для того, чтобы а отличалось как угодно мало от при Пусть тогда положительная величина, меньшая, чем самая малая из вещественных частей к величин мы сможем взять достаточно малым для того, чтобы при вещественные части к показателей были больше

Вещественная часть будет тогда больше, чем h (если ), так что будем иметь

Таким образом, при функция

остается однозначной, непрерывной, ограниченной и меньшей по абсолютной величине, чем

Отсюда в силу хорошо известной теоремы мы заключим, что эта функция разлагается в ряд по степеням и что коэффициенты разложения меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения

Следует заметить, что числа не зависят от целых чисел и у. Исключением был бы случай, когда равно нулю. Вещественная часть делителя (5) могла бы быть меньше и даже отрицательной.

В самом деле, она равна вещественной части выражения которая положительна, минус вещественная часть которая также положительна и которая может быть больше вещественной части если равно нулю.

Предположим, что вещественная часть остается меньше некоторого числа при Тогда если

то вещественная часть (5) заведомо больше, чем итак, трудности могут встретиться лишь для тех делителей (5), для которых неравенство (7) не выполняется.

Предполояшм теперь, что мнимая часть величин остается постоянно меньше по абсолютной величине, чем некоторое положительное число если тогда мы имеем

то мнимая часть (5) и, следовательно, его модуль будут все еще больше так что трудности могут возникнуть для тех делителей (5), для которых ни одно из неравенств (7) и (8) не выполняется. Но этих делителей, которые не удовлетворяют ни одному из этих неравенств, конечное число.

В силу сделанного выше предположения ни один из них не обращается в нуль для рассматриваемых нами значений следовательно, мы можем взять достаточно малыми для того, чтобы абсолютное значение любого из них оставалось больше, чем когда остается меньше

Тогда выражение, обратное произвольному делителю (5), разлагается в ряд по степеням и коэффициенты разложения меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения

Мы писали выше

В силу наших предположений С можно разложить в ряд по степеням так что я могу положить

Вернемся теперь к уравнениям полагая в них

Правые части уравнений будут тогда сходящимися рядами по степеням

Из них можно найти в виде сходящихся рядов по степеням

С другой стороны, из уравнений (2) мы получим в виде рядов (4) по степеням

Каждый из членов (4) меньше по абсолютной величине соответствующего члена а поскольку ряды сходятся, то будут сходиться и ряды (4).

1
Оглавление
email@scask.ru