НОВЫЕ МЕТОДЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

II МЕТОДЫ НЬЮКОМА, ГИЛЬДЕНА, ЛИНДШТЕДТА И БОЛИНА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методы, которые я хочу изложить во втором томе, возникли в результате усилий многих современных астрономов. Однако большую часть этого тома я посвящу методам Гильдена, которые наиболее совершенны.

Одна общая черта присуща всем этим методам. Ученые, разработавшие их, стремились к тому, чтобы разлагать координаты небесных тел в ряды, все члены которых представляют собой периодические функции, и таким образом избавляться от встречавшихся в старых методах последовательных приближений членов, называемых вековыми, в которые время не входит под знаком синуса или косинуса. Но зато авторов новых методов не интересовал вопрос о том, сходятся ли получаемые ими ряды в том смысле, в каком понимают сходимость геометры.

Поэтому то, что я намереваюсь изложить, истинно лишь в некотором приближении, точность которого, несомненно, очень велика (причем тем больше, чем меньше массы планет), в то время как результаты, полученные в первом томе, были выведены со всей привычной для геометров строгостью. Оценить точно ошибку, совершаемую в каждом отдельном случае, весьма трудно, но можно найти верхний предел ошибки, который, вероятно, будет значительно завышен.

В самом деле, члены этих рядов сначала очень быстро убывают, а затем начинают возрастать. Но поскольку астрономы обрывают разложение после нескольких первых членов и задолго до того, как эти члены перестают убывать, то для практических целей получаемое приближение оказывается достаточным.

Расходимость таких разложений будет представлять неудобство лишь в том случае, если мы будем пытаться использовать их для строгого обоснования некоторых результатов, например для доказательства устойчивости солнечной системы.

В главе VIII я стараюсь разъяснить, в чем состоит различие в понимании слова «сходимость» между геометрами и астрономами, каким образом астрономы могут пользоваться рядами, которые геометры называют расходящимися, и как можно к таким рядам применять обычные правила анализа. Методы, которые позволили мне получить эти последние результаты, быть может, несколько громоздки, но обладают тем преимуществом, что позволяют найти верхний предел ошибки. Впрочем, можно связать главу VIII с теми рассуждениями, которые приведены в конце главы VII.

В последующих главах я излагаю наиболее простые из новых методов, а именно методы Ньюкома и Линдштедта. Я показываю, каким образом можно преодолеть некоторые трудности, с которыми приходится сталкиваться при применении этих методов к наиболее общему случаю задачи трех тел.

Имеются две такие трудности. Во-первых, чтобы метод Линдштедта (либо в своей первоначальной форме, либо в том виде, который я придал ему впоследствии) был применим, необходимо, чтобы средние движения в первом приближении не были связаны никаким линейным соотношением с целыми коэффициентами. Однако в задаче трех тел необходимо принимать во внимание не только средние движения планет, но и средние движения перигелиев и узлов. Между тем в первом приближении, т. е. в кеплеровском движении, перигелии и узлы неподвижны, следовательно, их средние движения равны нулю и то условие, о котором говорилось выше, т. е. отсутствие линейного соотношения с целыми коэффициентами, не выполняется. Разъяснив, каким образом следует строить последовательные приближения для того, чтобы преодолеть эту трудность, я перехожу ко второй. Она возникает в том случае, когда эксцентриситеты очень малы. Я показываю, что вторая трудность носит искусственный характер и что ее можно обойти, если в качестве исходной принять следующую точку зрения. Будем считать, что в том случае, когда эксцентриситеты равны нулю, кеплеровские эллипсы переходят не в окружности, а в орбиты, описываемые планетами в случае периодических решений первого сорта, рассмотренных в главе III.

В последующих главах я прежде всего излагаю первые методы Гильдена. Эти методы основаны на принципах, аналогичных тем, о которых только что говорилось, и позволяют преодолеть те же трудности. Многочисленные же частные затруднения, возникающие помимо двух указанных выше трудностей, преодолеваются с помощью искусственных приемов, столь же изящных, сколь и остроумных.

Несколько пунктов я посвящаю методам интегрирования некоторых дифференциальных уравнений, которые Гильдену пришлось рассматривать. Особенно подробно я останавливаюсь на одном из этих уравнений, представляющем особый интерес. Это уравнение рассматривали также и многие другие геометры.

При рассмотрении этих методов я часто отхожу от первоначального изложения их авторами. Я отнюдь не хочу переделывать то, что было сделано ранее и сделано хорошо. Поэтому при изложении этих методов я не старался представить их в виде, наиболее удобном для численных вычислений. Моя цель состояла лишь в том, чтобы наиболее выпукло показать их существо и облегчить сравнение с другими методами.

Когда читатель дойдет до соответствующих разделов, ему станет ясно, что всегда можно избавиться от членов, называемых вековыми, которые возникали более или менее искусственно в старых методах вычислений. Однако вычислители часто сталкиваются с более серьезным затруднением,

а именно с наличием малых знаменателей, когда средние движения почти соизмеримы. В этом случае методы, изложенные в первой части этого тома, становятся неприменимыми и необходимо обратиться либо к методу Делоне, либо к тесно связанному с ним методу Болина. Последнему методу я посвящаю отдельную главу. Однако этот метод несовершенен, ибо он приводит если не к малым знаменателям, то по крайней мере к большим множителям, которые могут в некоторых случаях сделать приближение неудовлетворительным. Следовательно, остается сделать еще один шаг. Он состоит в применении второго метода Гильдена, которым и заканчивается том. Даже если этот метод и не обладает совершенством с точки зрения геометра, то по крайней мере он является наиболее совершенным из известных нам методов.

Употребляемые обозначения

Чтобы избавить читателя от необходимости непрестанно обращаться к первому тому, следует кратко напомнить введенные в нем некоторые обозначения, которые будут использованы во втором томе.

Прежде всего напомним, что тело рассматривается относительно тела а тело относительно центра тяжести тел . Я ввел обозначения (см. п. 11)

так что параметр будет очень малым, а конечными.

F означает полную энергию системы, деленную на Эта функция допускает разложение по степеням х.

Определим теперь оскулирующие элементы первой планеты, т. е. тела в его движении относительно тела

Через а я обозначил большую полуось, через эксцентриситет, через наклонение и положил

Через I я буду обозначать среднюю аномалию, через К — среднюю долготу, — долготу узла, долготу перигелия, которая обозначается также через S.

В п. 12 были введены обозначения

Таков смысл символов

относящихся к движению первой планеты. Те же символы, но со штрихами имеют те же значения и относятся к движению второй планеты, т. е. к движению тела относительно центра тяжести тел