Обобщение на случай нескольких переменных

94. Применим эти принципы к интересующему нас случаю.

Речь идет о разложении некоторой функции двух средних аномалий в ряд следующего вида:

Мы имеем, следовательно

Нам надо найти приближенное значение коэффициента в случае, когда отношение дано и конечно, а два числа очень велики или же, более общим образом, когда

где конечные целые числа, очень большое целое число, а и с взаимно просты.

Если я утверждаю далее, что приближенно выполняется равенство то это будет означать, что отношение

стремится к единице, когда неограниченно возрастает, а остаются конечными.

Сформулировав таким образом задачу, я введу следующие обозначения.

Положим

тогда

.тс-т-га с

Если мы затем положим для краткости

то найдем

полагая для краткости

Пусть теперь

интеграл берется по вдоль окружности Мы будем иметь

Все интегралы равны нулю, кроме тех, для которых и которые равны

Если , мы будем иметь

Теперь получаем

Поэтому если мы разлагаем в ряд вида

то коэффициент есть не что иное, как при

Итак, нам нужно искать приближенное выражение для при очень больших и, следовательно, изучать особенности функции .

95. Функция определена как интеграл по вдоль окружности Можно заменить эту окружность произвольным контуром С, удовлетворяющим все же некоторому условию.

Зафиксируем временно z и будем рассматривать как функцию от Эта функция будет иметь некоторое число особых точек.

Необходимо, чтобы между окружностью и контуром С не оказалось ни одной из этих особых точек.

Будем теперь изменять z непрерывным образом; эти особые точки будут непрерывно перемещаться. Если в то же время непрерывно деформировать контур С так, чтобы он никогда не проходил ни через одну особую точку, то функция останется голоморфной.

Следовательно, функция сможет перестать быть непрерывной только тогда, когда станет невозможным деформировать контур так, чтобы он не проходил ни через одну особую точку. Вот как это может произойти: представим себе, что при некотором значении z мы имеем две особые точки а и одну вне, а другую внутри контура С. Если при непрерывном изменении z одна из них, например а, попадает на контур С, то мы можем деформировать С, заставляя его, так сказать, убегать от этой подвижной особой точки, так что эта точка а не сможет никогда достигнуть контура. Таким образом, а останется всегда вне внутри С. Но предположим теперь, что а и Р неограниченно сближаются; контур С, так сказать,

попавший между двух огней, не сможет больше отступать перед этими двумя подвижными точками, и функция не будет больше голоморфной.

Следовательно, чтобы получить все особые точки функции , достаточно записать условие совпадения двух особых точек функции рассматриваемой как функция

будет сходящимся в области, ограниченной двумя окружностями

причем эти две окружности будут проходить через одну или несколько особых точек, которые я только что определил.

Но если мы хотим знать, какие из этих особых точек находятся на этих окружностях и определяют, следовательно, пределы сходимости нашего ряда, то необходимо более углубленное исследование.

Действительно, нам подходят не все особые точки и тому есть несколько причин.

Во-первых, функция неоднозначна; если две особые точки а и функции рассматриваемой как функции сливаются при некотором значении z, то для того, чтобы это значение было действительно особой точкой , необходимо, чтобы а и (5 принадлежали одной и той же ветви и, кроме того, чтобы эта ветвь была той же, которая фигурирует в интеграле вдоль С,

определяющем функцию Ф.

Кроме того, надо, чтобы эти две точки перед тем как слиться в одну, не находились по одну сторону от контура С.

Пусть Н — путь, проведенный в плоскости z и идущий от точки модуля 1 к особым точкам определенным выше. Предположим, что мы следуем по этому пути из и изучаем изменения , беря за начальное значение

Хотя функция может не быть и, вообще говоря, не является однозначной, частная ветвь , которую мы имеем в виду, полностью определена, так как мы задали начальное значение и пройденный путь.

Теперь требуется узнать, является ли точка в действительности особой точкой для этой частной ветви функции .

Поскольку функция неоднозначна, надо изменять не на плоскости, а на римановой поверхности имеющей столько же листов, сколько ветвей имеется у функции (это число может быть бесконечным).

Когда z будет изменяться, следуя по пути Н, особые точки будут перемещаться и риманова поверхность будет деформироваться. Контур С следует считать проведенным на этой римановой поверхности.

Этот контур при сведется к окружности проведенной на одном из листов когда поверхность S деформируется, то надо также деформировать контур С так, чтобы на него не попадало ни одной особой точки. Тогда специальное, иногда весьма тонкое исследование позволит увидеть, находятся ли для значения z, близкого к две особые точки функции , сливающиеся в одну при по разные стороны от контура С, что является необходимым и достаточным условием того, чтобы точка была особой для рассматриваемой нами частной ветви функции .

Как определить теперь, находится ли точка z, на одной из окружностей

которые ограничивают область сходимости ряда

и, таким образом, от нее ли зависит приближенное значение, которое мы ищем?

Проведем путь Н, идущий из точки модуля 1 в точку так что модуль z изменяется монотонно. Если точка принадлежит одной из двух наших окружностей, то она должна быть особой точкой для ветви , определенной путем Н, и это выясняется способом, который я только что объяснил.

Если точка z, удовлетворяет этому условию, то я скажу, что эта особая точка допустимая.

Теперь среди всех допустимых особых точек модуля, большего 1, те будут находиться на окружности у которых модуль будет самым маленьким.

Точно так же среди всех допустимых особых точек модуля, меньшего единицы, те будут находиться на окружности у которых модуль самый большой.

Я добавлю в заключение, что функция имеет несколько ветвей, которые переходят одна в другую, либо когда две ветви функции переходят одна в другую, либо когда две из особых точек обходят одна вокруг другой.

Я попытаюсь вначале определить особые точки я определю затем с помощью специального исследования, какие из них подходят к нашему случаю.