Инвариантные соотношения

19. Мы рассмотрели в , в связи с системой

с одной стороны, ее решения, с другой — ее интегралы. Но нам остается коснуться некоторых уравнений, которые связаны с этой системой и о которых можно сказать, что они занимают промежуточное положение между решениями и интегралами. Я теперь определю эти уравнения и назову их инвариантными соотношениями [7].

Пусть произвольная функция тогда

Рассмотрим теперь систему уравнений

и предположим, что эти уравнения влекут как следствие соотношения

отсюда вытекает, что

Следовательно, если уравнения (2) удовлетворяются для некоторого значения они будут удовлетворяться для всех значений вот почему мы назовем систему (2) системой инвариантных соотношений; и легко понять, какое значение может иметь знание подобной системы.

Предположим теперь, что система каноническая и возвратимся к системе (1) п. 3 и к уравнению

которое с ней связано.

Знание одного частного решения этого уравнения (3) дает нам систему инвариантных соотношений.

Действительно, пусть решение; рассмотрим систему

Я утверждаю, что это система инвариантных соотношений для канонических уразнений (1).

В самом деле, дифференцируя уравнение (3), находим

Чтобы привести систему (4) к виду (2)

ПОЛОЖИМ

Получим

откуда

это показывает, что уравнения (5) приводятся к виду

Но как мы только что видели, это как раз и означает, что система (4) есть система инвариантных соотношений.

Я добавлю еще, что в случае, когда имеются лишь две степени свободы, каждая система двух инвариантных соотношений может быть получена этщи способом.