Глава XXI. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА БОЛИНА

Обобщение задачи к. 134

219. В начале главы XI я разъяснил, какие специфические трудности возникают в задаче трех тел. Эти трудности обусловлены тем, что не все переменные первого ряда, т. е. переменные входят в функцию

В главах XI и XIII мы видели, каким образом можно обойти эту трудность и, несмотря на нее, построить функцию допускающую разложение по степеням удовлетворяющую уравнению Якоби

и такую, что ее производные по будут периодическими функциями от у.

Кроме того, эта функция S зависит от постоянных интегрирования, например, от величин

Если одна из линейных комбинаций

мала и имеет порядок то так же, как и в п. 211, мы можем положить

где новые постоянные, и предположить, что

Расположим затем каждый член разложения S по возрастающим степеням и сгруппируем те члены, которые содержат в качестве сомножителя одинаковую степень Каждая из таких совокупностей членов будет обладать тем же свойством, что и сама функция а именно: ее производные будут периодическими функциями от у.

Поэтому заранее ясно, что метод Болина будет применим и в том случае, когда функция зависит не от всех переменных первого ряда, и в частности в задаче трех тел. Однако при применении этого метода

возникает несколько тонких вопросов, на которых я не могу не остановиться подробно.

220. Итак, предположим, что зависит не от всех переменных первого ряда. Для большей ясности я буду обозначать переменные первого ряда через

а соответствующие переменные второго ряда — через

и буду предполагать, что зависит от всех но не зависит от

Требуется найти такую функцию S переменных у и и, которая бы удовлетворяла уравнению Якоби

Я предполагаю здесь, что переменные первого ряда и в левой части заменены соответствующими переменными

Кроме того, необходимо, чтобы функция S допускала разложение по степеням а ее производные были периодическими по у и и. Полагая получим из уравнения (1)

откуда видно, что имеет вид

где зависит лишь от переменных . Положим

Если между величинами не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами, то никаких трудностей не возникает. С помощью методов главы XI можно построить функцию содержащую лишь целые степени ибо члены, содержащие нечетные степени пропадут.

Предположим, однако, что между величинами существует линейное соотношение и пусть это соотношение имеет вид

Такое предположение вполне допустимо, ибо в противном случае я мог бы воспользоваться заменой переменных п. 202.

Прежде чем переходить дальше, введем одно новое обозначение. Пусть некоторая периодическая по у функция, зависящая, кроме того, и от и. Через

я обозначу среднее значение если рассматривать ее только как функцию от а через

— среднее значение если рассматривать ее как функцию от

Из этого определения следует, что есть функция от и к, в то время как есть функция одних лишь переменных и.

Если предположить, что функция вместо того, чтобы быть периодической по у, такова, что периодическими являются ее производные, то

где периодическая функция, а постоянные. Положим

и

Установив это, рассмотрим еще раз уравнения (3) из п. 204. Первое из этих уравнений есть не что иное, как уравнение (2), которое мы только что рассмотрели. Из второго уравнения видно, что производные

равны некоторым постоянным. Не ограничивая общности, можно предположить, что эти постоянные равны нулю. На самом деле это означает, что мы вновь вернулись к предположениям (9), указанным в п. 204.

Но тогда функция будет зависеть только от и и, так что

Рассмотрим теперь третье из уравнений (3) п. 204. Функция Ф, фигурирующая в его правой части, есть не что иное, как Второй член в левой части будет равен

поскольку остальные производные равны нулю.

Положим

тогда наше уравнение запишется в виде

Следует особо подчеркнуть, что функция здесь неизвестна. В самом деле, она зависит от переменных у и и. Переменные следует заменить величинами которые известны, а переменные величинами

которые неизвестны.

Вычислим теперь средние значения правой и левой частей относительно Прежде всего ясно, что среднее значение представляет собой постоянную. Не ограничивая общности, можно считать, что эти постоянные равны нулю. Это отвечает предположениям (10) в . Кроме того,

поскольку функция S не зависит от

Наконец, важно заметить, что при вычислении среднего значения функции можно действовать так, как если бы функции (которые следует подставить вместо были постоянными, поскольку эти функции не зависят от

Следовательно,

откуда

Вычислив средние значения правой и левой частей по получим

Если — функция, производные которой периодичны, то левая часть выписанного равенства обратится в константу, которую я обозначу через Тогда

или

Левая часть зависит от и, кроме того, от производных входящих в Таким образом, это уравнение с частными производными, позволяющее найти функцию Определим функцию так, чтобы ее производные были периодическими. Уравнение (5) можно записать в виде

Задача сводится к интегрированию уравнения и я вернусь к ней ниже. Предположим, что интегрирование этого уравнения возможно и что

— полный интеграл этого уравнения, содержащий постоянных интегрирования Разумеется, я предполагаю, что зависит от и постоянных и периодична по

Найдя таким образом функцию мы можем вычислить производную и, следовательно,

Можно записать

где известная функция от еще неизвестная функция от и.

Далее из уравнения (4) мы получаем

откуда находим

Рассмотрим теперь четвертое из уравнений (3). Все производные во втором члене левой части известны, за исключением производной поэтому этот член можно записать в виде

С другой стороны, в п. 204 я обозначал правую часть этого уравнения через Ф, поскольку она была полностью известна. На этот раз дело обстоит иначе, поскольку правая часть зависит от а

следовательно, от производных которые неизвестны. Нетрудно видеть, что эта правая часть будет иметь вид

причем Ф будет известной функцией. В силу этого паше уравнение можно записать в виде

Разумеется, в производные вместо переменных следует подставить соответственно

Возьмем средние значения от правой и левой части по Можно считать, как мы делали раньше, что средние значения производных равны нулю. Тогда

Отсюда мы получим

Обе части этого уравнения зависят от . Среднее значение левой части должно быть постоянной, которой я, не ограничивая общности, могу придавать произвольное значение, например значение, равное нулю. Следовательно,

что можно записать и в виде

или

Функция зависит от и периодична по Если вместо подставить в нее то получим левую часть уравнения

Аналогично я предполагаю, что в уравнении переменные z в производных заменены производными

Функцию можно найти из уравнения Я сейчас докажу, что интегрирование этого уравнения проводится без труда, если проинтегрировано уравнение

Действительно, если известно, как интегрировать уравнение то мы знаем функцию , зависящую от постоянных такую, что если в функцию 0 вместо z подставить производные от то обратится в некоторую постоянную (относительно т. е. в некоторую функцию от которую я обозначу

С другой стороны, положим

При этом мы получим соотношений между величинами так что в качестве независимых переменных мы можем взять либо либо либо

Во избежание недоразумений будем обозначать символом производные по переменным или же по и к и символом производные по переменным

Функцию 0 в уравнении следует считать записанной в переменных (ибо замена на производится только после дифференцирования). Напротив, функция зависит от и, кроме того, от постоянных интегрирования

В новых обозначениях уравнение записывается в виде

С другой стороны, соотношение

выполняется тождественно, и, поскольку зависит лишь от

Последнее уравнение можно также записать в виде

Кроме того,

Преобразуя последовательно уравнение получим

или, переставляя индексы,

поскольку

Отсюда

или в переменных

Наконец, поскольку функция равна не зависящей от имеем

где функцию Ф следует выразить в переменных и? и постоянных интегрирования Производные функции зависят лишь от постоянных и в силу этого являются константами. Отсюда следует, что уравнение является уравнением с постоянными коэффициентами и немедленно интегрируется.

Функция Ф периодична по Часто бывает так, что функция и уравнения (9) таковы, что переменные оказываются однозначными функциями величин и наоборот. Поэтому разности оказываются периодическими функциями либо от либо от

Следовательно, функция Ф, периодическая по будет также периодической и по Это означает, что уравнение можно проинтегрировать так, что либо производные будут периодическими относительно либо, что то же, производные будут периодическими относительно либо функция будет возрастать на некоторую постоянную всякий раз, когда получают приращение, равное

Итак, проинтегрировав уравнение (8), мы получаем из уравнения (7) производную Поэтому функцию можно записать в виде

где функция полностью известна и зависит от у и и, а функция неизвестна и зависит лишь от и.

После этого можно записать уравнение (6) в виде

Отсюда найдем