Различные свойства

153. Шесть величин, найденные в предыдущем пункте, представляют собой функции от но поскольку

мы можем точно так же считать их функциями от Я намереваюсь доказать, что эти функции можно разложить по степеням

Это утверждение допускает иную формулировку, эквивалентность которой с приведенной выше очевидна. Вернемся к переменным Наши функции будут периодическими по и, следовательно, будут разлагаться в тригонометрические ряды. Пусть

— какой-нибудь из членов такого ряда. Я предполагаю, что

где тк и целые числа, положительные или отрицательные. Коэффициенты А зависят от

Наше утверждение можно сформулировать следующим образом: А разлагается по степеням Это разложение делится на

и все его члены содержат в четной степени, если четно, или в нечетной степени, если нечетно.

Для того чтобы доказать это утверждение, я воспользуюсь рассуждением по индукции. В предыдущем пункте мы последовательно нашли функции из нескольких уравнений, нумерацию которых я сохраняю прежней.

Требуется доказать, что функции, определяемые из этих уравнений, можно разлагать по степеням

Замечу прежде всего, что функцию можно разлагать по степеням и функции, которые мы обозначили разлагаются по степеням

Если припомнить смысл величин и т. д., то отсюда следует, что правые части уравнений (6) будут разлагаться по степеням величин (12), их производных по и, наконец, по

Я хочу доказать, что все эти величины так же, как и правые части уравнений (6) и (7), разлагаются по степеням Для этого я перейду к рассмотрению последовательности операций, с помощью которых в предыдущем пункте мы выводили эти величины друг из друга, и покажу, что ни одна из этих операций не нарушает этого свойства.

Операции, о которых говорилось, состоят в следующем.

1. В правые части уравнений (6) вместо величин (12), их производных и величин подставляют их предварительно вычисленные значения. Так как правые части уравнений (6) разлагаются по степеням подставленных величин, а последние в свою очередь (ибо мы рассуждаем по индукции и предполагаем, что ранее вычисленные величины обладают требуемым свойством) разлагаются по степеням то очевидно, что результат подстановки также будет разлагаться по степеням и

2. Вычисляется среднее значение какой-нибудь известной периодической функции либо только по либо по и по

Именно к этой операции мы прибегаем при выводе правых частей уравнений (7) из правых частей уравнений (6), а также, когда, обращая в нуль среднее значение правой части уравнения (7,2,2), приравниваем константы среднему значению функции А (см. выше в конце предыдущего пункта).

Поскольку эта операция состоит в вычеркивании членов в тригонометрическом разложении рассматриваемой функции, очевидно, что она не может нарушить справедливость сформулированного утверждения.

3. Дифференцирование величин (12) по или по

Пусть так же, как и раньше,

— некоторый член разложения той величины, которую мы дифференцируем.

Производной этого члена по будет

Его производная по будет иметь вид

Ясно, что если А удовлетворяет сформулированному условию, то этому же условию удовлетворяют также

4. Интегрирование уравнений (6) — (8).

Некоторые из этих уравнений позволяют нам сразу же получить неизвестные величины. Таковы уравнения (8) и уравнения, из которых мы находим последние следует выбирать так, чтобы среднее значение правой части уравнения было равно нулю. Однако другие уравнения подлежат интегрированию: таковы, например, уравнения (7), имеющие вид

где неизвестная, а у — известная периодическая функция. Пусть тогда

— один из членов разложения у. Соответствующий член разложения запишется в виде

Ясно, что если А удовлетворяет поставленному условию, то ему удовлетворяют и

Те же соображения применимы и к уравнению которое после того, как выбраны так, чтобы среднее значение его правой части было

равно нулю, принимает вид

где у — известная, а х — неизвестная функция.

Такой же вид имеет и уравнение (13). Заметим, что а также зависят от но не от Следует еще добавить, что уравнение (14) определяет неизвестную функцию х с точностью до некоторой постоянной, которую можно выбирать в виде произвольной функции от Разумеется, для того чтобы теорема была справедливой, следует так выбирать эту произвольную функцию, чтобы она разлагалась по целым степеням

Аналогично уравнения (8) определяют с точностью до некоторой постоянной, которую можно выбирать произвольно. Этот выбор необходимо производить так, чтобы

разлагалось по степеням

5. Интегрирование уравнений ( проводится почти таким же образом.

Рассмотрим, например, уравнения (9) и вернемся к обозначениям, которыми мы пользовались при рассмотрении этих уравнений.

Прежде всего рассмотрим случай, когда величина не равна и когда определитель системы линейных уравнений (10) отличен от нуля. Тогда ясно, что если коэффициенты удовлетворяют поставленному условию, то коэффициенты получаемые из уравнений (10), также удовлетворяют ему.

Перейдем теперь к случаю, когда и вместо уравнений (10) надлежит рассматривать уравнения

Имеем прежде всего уравнение

Предположим, что которые представляют собой коэффициенты разложения заранее вычисленной функции, удовлетворяют наложенному условию, т. е. что они разлагаются по степеням что это разложение можно разделить на и что полученное частное будет содержать лишь четные степени Отсюда следует, что содержит лишь четные степени и, следовательно, удовлетворяет нашему условию.

Обратимся снова к уравнениям Очевидно, что коэффициенты удовлетворяют наложенному условию, поскольку ему удовлетворяют Однако мы видели, что коэффициенты можно выбирать произвольно. Поэтому их всегда можно подобрать так, чтобы это

условие выполнялось. Разумеется, теорема остается в силе лишь при выполнении указанного условия.

Поскольку интересующее нас свойство не теряется ни при одной из операций, оно остается в силе и при выполнении всей совокупности этих операций.

154. Обратим теперь внимание на то, что уравнения движения не изменяются, если остаются без изменений, а получают одно и то же приращение.

Рассмотрим разложения (4) (я по-прежнему сохраняю нумерацию п. 152). Поскольку средние по значения величин можно выбирать произвольно, я задам их каким-нибудь образом.

Тогда ряды (4) будут единственными, удовлетворяющими формально уравнениям движения и, кроме того, двум условиям, а именно, все их средние значения должны быть известны и

— полный дифференциал.

В самом деле, вычисления, произведенные в п. 152, позволяют однозначно определить коэффициенты этих рядов, удовлетворяющих указанным различным условиям.

Прибавим теперь к одну и ту же константу. В силу замечания, сделанного в начале данного пункта, мы по-прежнему сможем удовлетворить уравнениям движения, причем ряды (4) не изменятся, за исключением того, что перейдут в .

Заменим далее на . Ряды будут иметь прежний вид, т. е. по-прежнему будут периодическими функциями от среднее значение которых сохранится. Они также будут формально удовлетворять уравнениям движения, поскольку я лишь вычел из произвольных постоянных некоторую постоянную а.

Наконец, выражение (15) по-прежнему будет полным дифференциалом.

Следовательно, эти ряды не могут отличаться от рядов (4), которые являются единственными рядами, удовлетворяющими всем этим условиям.

Это означает, что не изменяются, если одновременно уменьшить на одну и ту же величину.

Другими словами, если

представляют собой некоторый член разложения и

то алгебраическая сумма целых чисел должна быть равна нулю.

Отсюда нетрудно заключить, что если

представляют собой некоторый член разложения или то та же самая алгебраическая сумма должна быть равна ±1. Добавлю еще, что для разложений величин

также для разложений этого же вида, в которых вместо фигурирует эта сумма равна нулю.

Другие свойства мы получаем из соображений симметрии и аналогичных рассуждений.

Например, если все симметрично относительно плоскости то уравнения движения не изменятся, если изменить знаки величин не изменяя величин

Предположим далее, что в разложениях (4) средние значения величин которые можно выбирать произвольно, равны нулю. Произведем замену переменных

на

и одновременно переменных на

Ряды (4) сохранят свой вид и будут по-прежнему удовлетворять уравнениям движения. Средние значения величин не изменятся, средние значения величин останутся равными нулю. Наконец, выражение (15) будет по-прежнему полным дифференциалом.

Это возможно лишь в том случае, если ряды (4) не изменятся. Следовательно, не изменятся Величины же изменят знак одновременно с

Это означает, что разложения величин содержат лишь косинусы, тогда как разложения содержат лишь синусы.

К аналогичным выводам можно прийти и в случае симметрии относительно плоскости

Предположим, что мы имеем дело с пространственной задачей трех тел. Пусть в качестве переменных выбраны

Третья и четвертая пары переменных определяют эксцентриситеты и перигелии, две последние пары переменных определяют наклонения и узлы.

В силу только что указанной симметрии уравнения не изменятся, если у переменных изменить знак, оставив остальные переменные без изменений.

С помощью рассуждений, полностью аналогичных тем, которым мы пользовались выше, можно усмотреть, что ряды (4) не изменятся при одновременной замене

на

Отсюда должен следовать вывод о том, что в разложениях (4), которые производятся по косинусам и синусам величины

сумма должна быть четной для разложений величин

и, наоборот, нечетной, для разложений

155. В п. 152 для упрощения изложения и вычислений я воспользовался искусственным приемом, о котором уже говорилось в конце п. 140 и упоминалось в начале п. 152. Он состоит в том, что некоторые члены считаются членами второго порядка, хотя относительно масс они являются членами лишь первого порядка.

Законность такого приема основывается на крайней малости этих членов. Однако применение его все же приводит к некоторым трудностям. В самом деле, в результате применения такого приема изменяется смысл параметра Положив мы приходим к частному случаю задачи трех тел, когда массы возмущающих тел равны нулю, а движение кеплеровское. Придав параметру некоторое очень малое, но вполне определенное значение, мы приходим к другому частному случаю задачи трех тел, соответствующему подлинным значениям масс тех тел, которые мы рассматриваем. Однако если придать некоторый промежуточный смысл, то уравнения превратятся в уравнения некоторой динамической задачи, не имеющей никакого отношения к задаче трех тел.

Иначе обстояло бы дело, если бы за параметром мы сохранили его первоначальный смысл, определенный в п. 11. В этом случае, каково бы ни было значение, придаваемое наши уравнения были бы уравнениями задачи трех тел, соответствующими некоторым значениям масс.

Поэтому было бы удобнее понимать параметр в его первоначальном смысле и попытаться разлагать наши переменные не только по степеням но еще и по степеням тех констант, которые мы обозначили (имеющих порядок эксцентриситетов).

Тогда уравнения движения имели бы прежний вид и лишь среднее значение функции которое я всегда обозначал символом имело более сложное выражение. Функция уже не выражалась бы в виде

как это было в п. 152, а разлагалась по возрастающим степеням Правая же часть выражения (16) содержит лишь первые члены такого разложения, а именно члены порядка 0 и 2 (как известно, все члены разложения имеют четный порядок).

Итак, разложим наши переменные (1) по степеням Разложения (4) сохраним в прежнем виде. Пусть, кроме того,

где

означают совокупность членов порядка относительно

Я по-прежнему предполагаю, что

и, следовательно,

однако я не предполагаю более, что

Вместо этого пусть

но величины вообще говоря, отличны от нуля.

Сделав эти предположения, обратимся вновь к вычислениям, произведенным в п. 152.

В этом пункте мы прежде всего рассмотрели уравнения (6), в которых положили Эти уравнения будут удовлетворяться, ибо равны

нулю, и не зависят от а зависят лишь от в силу сделанных нами предположений.

Далее идут уравнения (7), в которых мы положили с уравнениями из п. 152)]. Однако необходимо заметить, что вид уравнений (6) и (7) на этот раз несколько изменился.

В самом деле, рассмотрим в уравнениях ( последний член в правой части. Этот член можно записать в виде

В п. 152 величины были равны

поэтому выписанные четыре члена были бы равны

однако теперь не равны указанным выражениям и выписанные члены необходимо сохранять в виде (18).

Уравнения (7) при запишутся в виде

Разумеется, следует помнить, что в функции заменены величинами

Эти уравнения представляют собой те же уравнения, которые разбирались в главе X, но записанные по-другому. Первое уравнение выполняется автоматически. Поэтому мы рассмотрим два последних уравнения, из которых следует находить и

Разложим по степеням Пусть

где означает совокупность членов порядка относительно

Подставим в два последних уравнения (19) вместо разложения (17) и (20) и приравняем члены одинакового порядка в правых и левых частях. Для краткости введем обозначение

Если приравнять члены первого порядка относительно то

Эти уравнения удовлетворяются, поскольку

Предположим теперь, что мы уже нашли

и что требуется найти

В обеих частях двух последних уравнений (19) приравняем члены порядка Эти члены имеют вид:

Следовательно, мы можем записать

где известные периодические функции от

Аналогия этих уравнений с уравнениями (9) очевидна. От одних уравнений к другим можно перейти с помощью замены на

Следовательно, с уравнениями (21) можно поступить так же, как с уравнениями (9). Условие применимости метода, которым мы пользовались, аналогичное равенству нулю суммы в уравнениях ( должно выполняться автоматически, ибо мы заранее доказали возможность разложения.

Чтобы удовлетворить двум последним уравнениям (19), должна быть постоянной (ибо оба эти уравнения допускают в качестве интеграла, аналогичного интегралу живых сил, Поскольку это должно быть верно, каковы бы ни были постоянные производная — точно так же должна быть постоянной, зависящей лишь от и Но

Производные функции постоянны. Первое из уравнений (8) говорит нам, что постоянными будут также и Следовательно, величина есть постоянная, которую можно приравнять Тем самым мы удовлетворим второму из уравнений (19).

В п. 152 мы затем последовательно нашли (а следовательно, и ибо представляет собой константу, которую можно выбирать произвольно), из уравнений (6,1,1), (6, 3,1), (6, 4, 1) и (6, 2,1). Эта часть вычислений остается без изменений. Теперь найдем

Для этого рассмотрим уравнения (7,3, 2) и (7, 4,2). Эти уравнения имеют

где известны.

Эти уравнения аналогичны уравнениям (9), только имеют менее простое выражение. Например, три последних члена в правой части

лервого из этих уравнений не будут соответственно равны

как это было в п. 152, где указанное обстоятельство вносило существенное упрощение.

Итак, подставим в уравнения (22) вместо их разложения (17); вместо его разложение (20) и вместо разложение

аналогичное разложению (20). Кроме того, пусть совокупность членов порядка относительно функций и

Затем приравняем члены одного и того же порядка, стоящие в правой и левой частях уравнений (22).

Если сначала приравнять члены порядка 0, то получим

где константы, зависящие лишь от (действительно, в силу рассуждений, изложенных в п. 153, которые остаются применимыми без всяких изменений, допускают разложение по степеням члены же порядка 0 относительно не зависят ни от ни от

Отсюда следует, что и также представляют собой константы и левые части уравнений (23) равны нулю. Поэтому мы можем найти из этих уравнений и

Предположим теперь, что мы уже нашли

и что требуется найти

Для этого приравняем в правой и левой частях уравнений (22) члены порядка

Получим, учитывая члены, зависящие от неизвестных величин (24),

где известные функции.

Эти уравнения аналогичны уравнениям (9). В самом деле, от одних уравнений к другим можно перейти, заменив

на

Следовательно, к уравнениям (25) применимы те же методы, что и к уравнениям (9).

Затем так же, как в , находим

Чтобы найти

воспользуемся уравнениями (7, 3 ,3) и (7, 4, 3). Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения (22), и решаются таким же способом.