Метод Гильдена

182. Э. Пикар доказал следующую теорему.

Если коэффициентами линейного уравнения служат двоякопериодические функции, а его общее решение не имеет иных особых точек, кроме полюсов, то это решение выражается через «двоякопериодические функции второго рода», т. е. функции, которые умножаются на некоторый постоянный множитель, если переменная получает приращение, равное периоду.

Важность этой теоремы обусловлена двумя следующими обстоятельствами:

1) по самому виду уравнения всегда нетрудно узнать, имеет ли его общее решение другие особенности, кроме полюсов;

2) все двоякопериодические функции второго рода просто выражаются через функции 0 Якоби или функции а Вейерштрасса.

Гильдену принадлежит остроумная идея применения этой теоремы к уравнению (1). Однако было бы несправедливым не упомянуть в этой связи имя Эрмита. То, чем на самом деле воспользовался Гильден, представляет собой теорему Эрмита об уравнении Ляме, которая хотя и является всего лишь частным случаем теоремы Пикара, была доказана значительно раньше.

Уравнение (1) можно записать в виде

если ввести обозначения

Рассмотрим функцию

По самому определению функции ясно, что стремится к если к стремится к нулю. Следовательно, если к мало, уравнение (2) можно заменить следующим уравнением:

причем приближение будет тем точнее, чем меньше к.

Установив это, посмотрим, каковы условия, при которых общее решение уравнения (3) не имеет иных особых точек, кроме полюсов. Единственной особой точкой уравнения (3) является точка

если через и обозначить периоды В самом деле, при

функция обращается в бесконечность. Известно, что вычет равен так что, разлагая по степеням

получаем ряд следующего вида:

содержащий лишь четные степени и.

Нетрудно найти условие, при котором разложение х по возрастающим степеням и начинается с для этого достаточно в обеих частях уравнения (3) приравнять члены с которые будут в этом случае членами наименьшей степени. Получим

откуда

Если это условие выполняется и если число целое, то уравнение (3) имеет частное решение, обладающее полюсом при

Как ведет себя другое решение? Теория линейных уравнений утверждает, что это решение при может иметь только либо полюс, либо логарифмическую особенность. Рассматривая разложение х по степеням и, нетрудно показать, что из четности функции а относительно и следует, что разложение решений не содержит логарифм. Подробности можно найти в известных работах Фукса по линейным уравнениям в т. 66 «Journal de Crelle» и в диссертации Таннери (Paris, Gauthier-Vil-lars, 1873), где приводятся основные результаты этих работ. Итак, если условие (4) выполнено, то уравнение (3) имеет два частных решения вида

где через обозначена та из четырех функций , которая обращается в нуль при

Нетрудно найти величин так как исследования Эрмита по теории уравнения Ляме содержат полное решение вопроса.

Целое число можно теперь выбрать достаточно большим для того, чтобы значение к, удовлетворяющее условию (4), было сколь угодно мало и, следовательно, чтобы уравнения (2) сколь угодно мало отличались от уравнений (3).

Однако поскольку вообще говоря, очень мало, Гильден считает, что в приложениях можно ограничиваться первым приближением, и полагает