Новые определения

35. Чтобы не слишком удлинять изложение этих предварительных сведений, я не буду говорить в данный момент о применении методов Коши к уравнениям в частных производных, хотя и намерен позднее вернуться к этому вопросу.

Я закончу эту главу новым обобщением обозначения из п. 20.

Пусть два ряда, расположенных по возрастающим степеням у, так что коэффициенты являются периодическими функциями от разложенными по синусам и косинусам кратных или, что то же самое, по положительным и отрицательным степеням

Итак, рассмотрим разложение и по степеням Если каждый из коэффициентов веществен, положителен и больше по абсолютной величине, чем соответствующий коэффициент мы будем писать

Если ряд сходящийся при

ряд будет сходиться при

Я добавлю, что достаточно, чтобы ряд сходился при для того, чтобы он сходился при любом

Если ряд сходится и представляет собой аналитическую функцию, то из рассмотрений предыдущего пункта следует, что сходимость абсолютная и равномерная.

Можно, следовательно, найти такую вещественную положительную постоянную а и такую периодическую с периодом функцию М от t, что:

1) все коэффициенты разложения М по положительным и отрицательным степеням положительны и вещественны;

2) имеет место неравенство

Следовательно, мы имеем a fortiori, что для любого

где значение М при

Действительно, пусть

тогда

Этот ряд должен сходиться, по предположению, для всех вещественных значений и всех значений и у внутри круга сходимости. Предположим, например, что сходимость имеет место при

Члены ряда должны быть ограничены по абсолютной величине, так что можно записать, обозначив через К некоторую положительную постоянную,

Если положить

то получим